Question

A área afetada vem decrescendo segundo a lei: A=Ao. (3/4)^t, onde Ao é a área em Km^2, poluida atualmente e t é o tempo em anos.A partir de hoje, calcule em qtos anos pode-se concluir que a área poluída será a metade da atual. (Logo 2=0,3 e log3=0,48)

Answer 1

Olá.

Já que a área poluída será a metade da atual, podemos identificar:

A = Ao/2

Considerando a área atual metade da poluída (Ao = A/2) , encontraremos o mesmo valor de t, bastando apenas considerar o oposto do sinal, pois como t é expoente, logo inverterá a fração.

Substituindo:

$a = \frac{a}{2} \times (\frac{3}{4} )^{t}$

Passe a/2 dividindo.

$( \frac{3}{4} )^{t} = \frac{a}{ \frac{a}{2} } \\ \\ ( \frac{3}{4} ) ^{t} = \frac{2a}{a} \\ \\ ( \frac{3}{4} )^{t} = 2$

Chegamos a essa igualdade.

Sabendo que, de acordo com as propriedades logarítmicas a divisão equivale à subtração, e o expoente passa multiplicando, vamos calcular t:

$t \times log_{10}( \frac{3}{4} ) = log(2) \\ \\ t \times ( log(3) - log(4) ) = log(2)$

Note que log(4) = log(2^2) = 2.log2

$t \times ( log(3) - 2 \times log(2) ) = log(2)$

Obs:

{log2 = 0,3

{log3 = 0,48

(Os valores acima referem-se à base 10. Se a base for 10 ela é padrão, ou seja, basta escrever, por exemplo, log2 que já presumimos que está na base 10)

$t \times (0.48 - 2 \times 0.3) = 0.3 \\ \\ t = - \frac{0.3}{0.12} \\ \\ t = - 2.5$

Oposto:

t = 2,5

RESPOSTA: em aproximadamente 2,5 anos, a área poluída será a metade da atual.

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Bons estudos! :)

Answer 2

 A área poluída atualmente é $A_o$, então como queremos que a área poluída seja a metade, queremos que ela seja $\frac{A_o}{2}$, logo:

$\frac{A_o}{2}=A_o.(\frac{3}{4})^t\\\\\frac{1}{2}=(\frac{3}{4})^t\\\\t=Log_{\frac{3}{4}}\frac{1}{2}\\\\t=\frac{Log\frac{1}{2}}{Log\frac{3}{4}}\\\\t=\frac{Log1-Log2}{Log3-Log4}\\\\t=\frac{0-0,3}{0,48-Log2^2}\\\\t=\frac{-0,3}{0,48-2.Log2}\\\\t=\frac{-0,3}{0,48-2.0,3}\\\\t=\frac{-0,3}{0,48-0,6}\\\\t=\frac{-0,3}{-0,12}\\\\t=\frac{30}{12}\\\\t=\frac{15}{6}\\\\t=2,5$

 A área poluída será a metade da atual em dois anos e meio.

 Propriedades utilizadas:

• $Log_ab$ <=> $\frac{Log_nb}{Log_na}$
• $Log\frac{a}{b}$ <=> $Loga-Logb$
• $Log_{a^x}b^y$ <=> $\frac{y}{x}.Log_ab$

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