Question

A Aceleração de uma partícula é definida pela relação com$a=-k\sqrt{v}$, onde k é uma constante. Sabendo que em t=0s, x=0 e v=81 m/s e que v=36m/s quando x=18m, determine (a) a velocidade da particula quando x=10m, (b) o tempo necessário para a particula o repouso.

Answer 1

Resposta:

A aceleração da partícula, em função de sua velocidade, é dada por:

$a = -k\sqrt{v}$

onde $k$ é uma constante e $a$ e $v$ estão em unidades do S.I.

Perceba que $a$ só é definida para valores de $v \geq 0.$

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo, isto é:

$a = \frac{dv}{dt}$

Assim:

$\frac{dv}{dt} = -k\sqrt{v}\\\\\Longleftrightarrow \,\,\frac{dv}{\sqrt{v} } = -kdt\,\,\,\,\,(v \neq 0)\\\\\Longleftrightarrow \,\,\int {\frac{dv}{\sqrt{v} } } = \int-kdt\,\,\,\,\,(v \neq 0)\\\\\Longleftrightarrow \,\,2\sqrt{v} = -kt + C_1\,\,\,\,\,(v \neq 0)$

Haja vista que $v= 81\,\,m/s$ para $t = 0,$ temos:

$\Longleftrightarrow\,\,2\sqrt{81} = -k\cdot0 + C_1\\\\\Longleftrightarrow\,\,2\cdot9 = 0 + C_1 \\\\\Longleftrightarrow\,\,\boxed{C_1 = 18.}$

Daí:

$\Longleftrightarrow \,\,2\sqrt{v} = -kt + 18\\\\\Longleftrightarrow \,\,\sqrt{v} = \frac{-kt + 18}{2}\\\\\Longleftrightarrow\,\,\sqrt{v} = -\frac{k}{2}\cdot t + 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Perceba que, além de $v \geq 0$, devemos ter $-\frac{k}{2}\cdot t + 9 \geq 0\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,kt \leq 18.$

Continuando:

$\Longrightarrow\,\,v = (-\frac{k}{2}\cdot t + 9)^2\\\\\Longleftrightarrow\,\,v = \frac{k^2}{4}\cdot t^2 - 9kt + 81\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)$

A velocidade é a derivada da posição em função do tempo:

$v = \frac{dx}{dt}.$

Substituindo em $(II),$ temos:

$\frac{dx}{dt} = \frac{k^2}{4}\cdot t^2 - 9kt + 81\\\\\Longleftrightarrow\,\,dx = (\frac{k^2}{4}\cdot t^2 - 9kt + 81)\,dt\\\\\Longleftrightarrow\,\,\int{dx} = \int{(\frac{k^2}{4}\cdot t^2 - 9kt + 81)\,dt}\\\\\Longleftrightarrow\,\,x = \frac{k^2}{12}\cdot t^3 - \frac{9}{2} kt^2 + 81t + C_2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(III)$

É dado que $x = 0$ para $t = 0.$ Substituindo esses valores em $(III),$ temos:

$0 = \frac{k^2}{12}\cdot 0^3 - \frac{9}{2}\cdot k \cdot 0^2 + 81\cdot 0 + C_2\\\\\Longleftrightarrow\,\,\boxed{C_2 = 0.}$

Sabemos que $v = 36\,\,m/s$ quando $x = 18\,\,m.$

Substituindo esse valor de $v$ em $(I)$, temos:

$\sqrt{36} = -\frac{k}{2}t + 9\\\\\Longleftrightarrow\,\,-\frac{k}{2}t = -3\\\\\Longleftrightarrow\,\,kt = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(IV)$

Substituindo agora o valor $x$ e o de $kt$ em $(III)$, temos:

$18 = \frac{(kt)^2\cdot t}{12} - \frac{9}{2}\cdot (kt)\cdot t + 81t\\\\\Longleftrightarrow\,\,18 = \frac{6^2\cdot t}{12} - \frac{9}{2}\cdot 6\cdot t + 81t\\\\ \Longleftrightarrow\,\, 18 = 3t -27t + 81t\\\\\Longleftrightarrow\,\,t = \frac{18}{57}\,\,s.$

Substituindo o valor de $t$ em $(IV)$, temos:

$k \cdot \frac{18}{57} = 6\\\\\Longleftrightarrow\,\, \boxed{k = 19.}$

Conhecido o valor de $k$, podemos agora obter a função horária da posição da partícula, a partir de $(III):$

$x(t) = \frac{19^2}{12}\cdot t^3 - \frac{9}{2} \cdot19\cdot t^2 + 81t\\\\\Longleftrightarrow\,\,\boxed{x(t) = \frac{361}{12} \cdot t^3 - \frac{171}{2}\cdot t^2 + 81t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V)$

Analogamente, podemos obter a função horária de sua velocidade, a partir de $(II):$

$v(t) = \frac{19^2}{4}\cdot t^2 - 9\cdot 19 \cdot t + 81\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v(t) = \frac{361}{4}\cdot t^2 - 171\cdot t + 81}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(VI)$

Determinemos os domínios das funções horárias acima:

$i)\,\, t \geq 0$

$ii)\,\,kt \leq 18\,\,\Longleftrightarrow 19 \cdot t \leq 18\Longleftrightarrow t \leq \frac{18}{19}\,\,s$

$D(x) = D(v) = (i)\,\cap\,(ii) = \left\{t \in \mathbb{R}\,\,|\,\, 0 \leq t \leq \frac{18}{19} \right\}.$

a) Determinar a velocidade da partícula quando x = 10 m:

Através da função horária da posição $(V),$ determinemos o instante para o qual $x = 10\,\,m:$

$10 = \frac{19^2}{12}\cdot t^3 - \frac{9}{2} \cdot19\cdot t^2 + 81t\\\\\Longleftrightarrow\,\, \frac{19^2}{12}\cdot t^3 - \frac{9}{2} \cdot19\cdot t^2 + 81t - 10 = 0$

Esta equação tem uma raiz real, a saber, $t \approx 0,14433\,\,s.$

(Encontrei a solução acima através de uma calculadora de equações de 3º grau. Analiticamente, seria possível encontrá-la via Fórmula de Tartano-Cartaglia.)

Substituindo este valor de $t$ na função horária da velocidade $(VI),$ obtemos:

$v = \frac{361}{4}\cdot (0,14433)^2 - 171\cdot (0,14433) + 81\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{v = 58,20\,\,m/s.}}$

b) Determinar o instante a partir do qual a partícula fica em repouso.

Por meio da função horária da velocidade $(VI)$, encontremos o instante para o qual $v = 0:$

$0 = \frac{361}{4}\cdot t^2 - 171\cdot t + 81\\\\\Longleftrightarrow\,\,\frac{361}{4}\cdot (t - \frac{18}{19} )^2 = 0\\\\\Longleftrightarrow\,\,\boxed{\boxed{t = \frac{18}{19}\,\,s \approx 0,947\,\,s.}}$