Matemática, perguntado por adjutori8276, 4 meses atrás

A(3, 1) e B(1, 5) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. Determine os outros vértices.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que os outros possíveis vértices do quadrado de vértices "A(3, 1)" e "B(1, 5)" são, respectivamente:

$\Large\begin{cases} C' (5, 7)\:\:e\:\:C'' (-3, 3)\\D'(-1, -1)\:\:e\:\:D''(7,3)\end{cases}$

Sejam os vértices do plano cartesiano:

$\Large\begin{cases} A = (3, 1)\\B = (1, 5)\end{cases}$

Observe que existem algumas formas para se resolver esta questão. Uma delas é utilizando números complexos associado com vetores.

Para resolver esta questão utilizando números complexos e vetores devemos converter os pontos cartesianos para afixos do plano de Argand Gauss. Para isso, fazemos:

$\Large\begin{cases} A = 3 + i\\B = 1 + 5i\end{cases}$

Agora, devemos prestar atenção que só nos foi dado dois de seus vértices. Esses vértices formam apenas um dos lados do quadrado. Já que o polígono é um quadrado, e só nos foi dado dois de seus vértices, então podemos rotacionar este lado tanto para o sentido horário quanto para o sentido anti-horário para encontrar os outros lados.

Deste modo, fazemos:

Encontrar as coordenadas dos possíveis vértices D' e D''. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{AD} & = \overrightarrow{AB}\cdot(\cos(\pm\theta) + i\cdot\sin(\pm\theta))\end{aligned} $}$

Como os lados do quadrado se cruzam perpendicularmente, então o ângulo de rotação é de 90°. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{AD} & = \overrightarrow{AB}\cdot(\cos(\pm90^{\circ}) + i\cdot\sin(\pm90^{\circ}))\\D - A & = (B - A)\cdot(\cos(\pm90^{\circ}) + i\cdot\sin (\pm90^{\circ}))\\D & = (B - A)\cdot(\cos(\pm90^{\circ}) + i\cdot\sin (\pm90^{\circ})) + A\\\end{aligned} $}$

Calculando o valor de D' (rotação positiva):

$\Large \text {$\begin{aligned}D' & = \left[(1 + 5i) - (3 + i)\right]\cdot(0 + i) + (3 + i)\\& = \left[-2 + 4i\right]\cdot i + (3 + i)\\& = -2i + 4i^{2} + 3 + i\\& = -2i + 4\cdot(-1) + 3 + i\\& = -2i - 4 + 3 + i\\& = - 1 - i\end{aligned} $}$

Desta forma o afixo de D' é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D' = -1 - i\end{gathered}$}$

Convertendo o afixo de D' para o vértice D', temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D' = (-1, -1)\end{gathered}$}$

Calculando o valor de D'' (rotação negativa):

$\Large \text {$\begin{aligned}D'' & = \left[(1 + 5i) - (3 + i)\right]\cdot(0 - i) + (3 + i)\\& = \left[-2 + 4i\right]\cdot (-i) + (3 + i)\\& = 2i - 4i^{2} + 3 + i\\& = 2i - 4\cdot(-1) + 3 + i\\& = 2i + 4 + 3 + i\\& = 7 + 3i\end{aligned} $}$

Desta forma o afixo de D'' é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D'' = 7 + 3i\end{gathered}$}$

Convertendo o afixo de D'' para o vértice D'', temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D'' = (7, 3)\end{gathered}$}$

Encontrar as coordenadas dos possíveis vértices C' e C''. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}\cdot(\cos(\pm\theta) + i\cdot\sin(\pm\theta))\end{gathered}$}$

Como os lados do quadrado se cruzam perpendicularmente, então o ângulo de rotação é de 90°. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{BC} & = \overrightarrow{BA}\cdot(\cos(\pm90^{\circ}) + i\cdot\sin(\pm90^{\circ}))\\C - B & = (A - B)\cdot(\cos(\pm90^{\circ}) + i\cdot\sin (\pm90^{\circ}))\\C & = (A - B)\cdot(\cos(\pm90^{\circ}) + i\cdot\sin (\pm90^{\circ})) + B\\\end{aligned} $}$

Calculando o valor de C' (rotação positiva):

$\Large \text {$\begin{aligned}C' & = \left[(3 + i) - (1 + 5i)\right]\cdot(0 + i) + (1 + 5i)\\& = \left[2 - 4i\right]\cdot i + (1 + 5i)\\& = 2i - 4i^{2} + 1 + 5i\\& = 2i - 4\cdot(-1) + 1 + 5i\\& = 2i + 4 + 1 + 5i\\& = 5 + 7i \end{aligned} $}$

Desta forma o afixo de C' é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C' = 5 + 7i\end{gathered}$}$

Convertendo o afixo C' para o vértice C', temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C' = (5, 7)\end{gathered}$}$

Calculando o valor de C'' (rotação negativa):

$\Large \text {$\begin{aligned}C'' & = \left[(3 + i) - (1 + 5i)\right]\cdot(0 - i) + (1 + 5i)\\& = \left[2 - 4i\right]\cdot (-i) + (1 + 5i)\\& = -2i + 4i^{2} + 1 + 5i\\& = -2i + 4\cdot(-1) + 1 + 5i\\& = -2i - 4 + 1 + 5i\\& = -3 + 3i \end{aligned} $}$