Question

7 obtenha mentalmente a forma fatorada dos trinomios quadrados perfeitos e registre os resultados

Answer 1

Os trinômios quadrados perfeitos são:

a) x² - 10xy + 25y²
b) 36a² + 12ab + b²
c) 49x² - 56xy + 16y²
d) a⁶ + 2a³b² + b⁴
e) 81x⁴ - 90x²y⁴ + 25y⁸
f) $\frac{16}{9}a^2+ \frac{8}{5} ab^2 +\frac{9}{25}b^4$

Resolução:

a) Observe que o trinômio pode ser escrito da forma:

x² - 5xy - 5xy + 25y²

Daí, temos que:

x(x - 5y) - 5y(x - 5y)

Agora, podemos colocar o x - 5y em evidência:

(x - 5y)(x - 5y) = (x - 5y)²

Portanto, x² - 10xy + 25y² = (x - 5y)²

Seguindo o mesmo raciocínio do item a) para os próximos itens:

b) 36a² + 6ab + 6ab + b² = 
6a(6a + b) + b(6a + b) = 
(6a + b)(6a + b) = 
(6a + b)²

Portanto, 36a² + 12ab + b² = (6a + b)²

c) 49x² - 28xy - 28xy + 16y² = 
7x(7x - 4y) - 4(7x - 4y) = 
(7x - 4y)(7x - 4y) = 
(7x - 4y)²

Portanto, 49x² - 56xy + 16y² = (7x - 4y)²

d) a⁶ + a³b² + a³b² + b⁴ = 
a³(a³ + b²) + b²(a³ + b²) = 
(a³ + b²)(a³ + b²) = 
(a³ + b²)²

Portanto, a⁶ + a³b² + a³b² + b⁴ = (a³ + b²)²

e) 81x⁴ - 45x²y⁴ - 45x²y⁴ + 25y⁸ = 
9x²(9x² - 5y⁴) - 5y⁴(9x² - 5y⁴) = 
(9x² - 5y⁴)(9x² - 5y⁴)=
(9x² - 5y⁴)²

Portanto, 81x⁴ - 45x²y⁴ - 45x²y⁴ + 25y⁸ = (9x² - 5y⁴)²

f) $\frac{16}{9}a^2+ \frac{4}{5}ab^2 + \frac{4}{5}ab^2 + \frac{9}{25}b^4=$
$\frac{4}{3}a( \frac{4}{3}a+ \frac{3}{5}b^2)+ \frac{3}{5}b^2( \frac{4}{3}a+ \frac{3}{5}b^2)=$
$( \frac{4}{3}a+ \frac{3}{5}b^2)( \frac{4}{3}a+ \frac{3}{5}b^2) =$
$( \frac{4}{3}a+ \frac{3}{5}b^2 )^2$

Portanto,

$\frac{16}{9}a^2+ \frac{4}{5}ab^2 + \frac{4}{5}ab^2 + \frac{9}{25}b^4=$$( \frac{4}{3}a+ \frac{3}{5}b^2 )^2$