7) calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m², sabendo-se que sua área lateral é igual ao dobro da área da base.
Soluções para a tarefa
O volume deste prisma quadrangular regular é de 108 metros cúbicos.
Para realizar este exercício vamos planificar este paralelepípedo.
Área lateral de um paralelepípedo
Um paralelepípedo, ao ser planificado, nos resulta em 3 pares de retângulos congruentes, 1 par para cada produto das dimensões:
- largura (L) x altura (H) = LH;
- comprimento (C) x altura (H) = CH;
- largura (L) x comprimento (C) = LC.
A = 2LH + 2CH + 2LC
Neste caso temos que os 2 retângulos das bases são na verdade quadrados, ou seja, L = C. Temos portanto que:
A = 2LH + 2LH + 2LL
A = 4LH + 2L²
Sabendo que, neste caso, a área lateral (4LH) é igual ao dobro da área da base (L²) então temos que:
4LH = 2L²
4LH/4 = 2L²/4
H = L/2
Encontrando a medida das arestas
A = 4L²/2 + 2L²
A = 2L² + 2L²
A = 4L²
144 = 4L²
L² = 144/4
L² = 36
L = ±6
Como o comprimento é uma grandeza positiva então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:
L = 6 metros.
H = L/2
H = 6/2
H = 3 metros.
Encontrando o volume de um paralelepípedo
O produto de suas 3 dimensões resultará em:
V = 6 * 6 * 3
V = 108 m³
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