6) (UNIRIO) Um campo de atletismo está representado na figura abaixo.
ABCD é um retângulo de comprimento x e largura 2r, tendo apoiado em cada um dos lados AD e BC um semicírculo de raio r.
Em todo o contorno do campo, há uma pista para corrida com 400 metros de extensão.
a) Expresse a área da parte retangular do campo em
função de r.
b) Quais os valores de x e de r que dão à parte retangular
a maior área possível?
Anexos:
AgPaulaJr:
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Soluções para a tarefa
Respondido por
2
Vamos lá!
O perímetro e a área desse campo podem ser expressos, respectivamente, pelas seguintes equações:
2x + 2πr = 400
A = 2r . x
Como o exercício nos solicita que a área seja expressa em função de r, vamos substituir a x na fórmula anterior:
2x + 2πr = 400
2x = 400 - 2πr
x = - π
x = 200 - πr
A = 2r . x
A = 2r . (200 - πr)
A = -2πr² + 400r
A = -6,28r² + 400r
=
=
=
≈ 31,85
A = -6,28(31,85)² + 400(31,85)
A = -6,28(1014,42) + 12740
A = -6370,55 + 12740
A = 6369,45m²
A = 2r . x
6369,45 = 2(31,85) . x
x . 63,7 = 6369,45
x =
x ≈ 100
Portanto:
a) A(r) = -6,28r² + 400r
b) x = 100 e r = 31,85
O perímetro e a área desse campo podem ser expressos, respectivamente, pelas seguintes equações:
2x + 2πr = 400
A = 2r . x
Como o exercício nos solicita que a área seja expressa em função de r, vamos substituir a x na fórmula anterior:
2x + 2πr = 400
2x = 400 - 2πr
x = - π
x = 200 - πr
A = 2r . x
A = 2r . (200 - πr)
A = -2πr² + 400r
A = -6,28r² + 400r
=
=
=
≈ 31,85
A = -6,28(31,85)² + 400(31,85)
A = -6,28(1014,42) + 12740
A = -6370,55 + 12740
A = 6369,45m²
A = 2r . x
6369,45 = 2(31,85) . x
x . 63,7 = 6369,45
x =
x ≈ 100
Portanto:
a) A(r) = -6,28r² + 400r
b) x = 100 e r = 31,85
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