Question

6) Observe a figura
n=1 n = 2
faolugating Eri
6.
n=3
n=4
Faça um algoritmo para o cálculo do número
de bolinhas
inst ofgizoq "001 & broque
quo
up cugit A

Answer 1

Resposta:  f(n) = n²/2 + n/2

Explicação passo a passo:

Vamos resolver o problema por meio de análise de função.

Para n = 1  ⇒  f(n = 1) = 1;

Para n = 2  ⇒ f(n = 2) = 3;

Para n = 3  ⇒ f(n = 3) = 6;

Para n = 4  ⇒ f(n = 4) = 10.

Quando colocamos essas informações em forma de função, vemos um comportamento de função de 2º grau. Ou seja, do tipo:

f(x) = a.x² + b.x + c

Assim, basta descobrirmos os valores de a,b, e c.

f(1) = 1   ⇒  a.1² + b.1 + c = 1     ⇒  a + b + c = 1         (I)

f(2) = 3 ⇒  a.2² + b.2 + c = 1   ⇒  4a + 2b + c = 3    (II)

f(3) = 6 ⇒ a.3² + b.3 + c = 6   ⇒  9a + 3b + c = 6    (III)

Resolvendo o sistema de equações (I), (II) e (III):

Subtraindo (II) de (I), temos:

3a + b = 2  (*)

Subtraindo (III) de (I), temos:

8a + 2b = 5  (**)

Multiplicando (*) por -2 e somando com (**), temos:

8a - 6a + 2b - 2b = 5 -4   ⇒   2a = 1  ⇒  a = 1/2

E, de (**):  8a + 2b = 5  ⇒  8.(1/2) + 2b = 5  ⇒  2b = 5 - 4 = 1 ⇒  b = 1/2

Substituindo os valores de a e b em (I), temos:

1/2 + 1/2 + c = 1   ⇒   c = 0

Assim:

f(x) = (1/2).x² + (1/2).x + 0   ⇒   f(x) = x²/2 + x/2

Logo, essa função é o algoritmo procurado:

f(n) = n²/2 + n/2

Fazendo um teste!

f(n=1) = 1²/2 + 1/2 = 1

f(n=2) = 2²/2 + 2/2 = 4/2 +1 = 2+ 1 = 3

f(n=4) = 4²/2 + 4/2 = 16/2 + 2 = 8 + 2 = 10