Question

6- Divisão De Um Polinomio Por Um Polimonio

a-) (x³-6x²+7x+4) : (x²-2x-1)

b-) (3x³-13x+37x-50) : (x²-2x+5)

c-) (10x³-31x²+26x-3) : (5x²-8x+1)

d-) (4x⁴-14x³+15x²-17x+5) : (x²-3x+1)





tipo essa aqui

e-) (2x²+6x+4) : (x+1)
2(x^2+3x+2) : (x+1)
2[(x+1) (x+2)] : (x+1)
2.(x+2)=
2x+4

Answer 1

Efetuar a divisão de polinômios.

a)   (x³ – 6x² + 7x + 4) : (x² – 2x – 1)

     •  Dividendo:   P(x) = x³ – 6x² + 7x + 4        (grau  3)

     •  Divisor:   D(x) = x² – 2x – 1                     (grau  2)


A partir do divisor  D(x),  vamos obter um polinômio de grau 3,  multiplicando todos os termos por x. Assim, vai aparecer o  x³  que está no dividendo:

     x · D(x) = x · (x² – 2x – 1)

     x · D(x) = x³ – 2x² – x           (i)


A ideia agora é fazer aparecer no dividendo  P(x)  a expressão  (i)  acima, para podermos fatorar:

     P(x) = x³ – 6x² + 7x + 4


Após o  x³,  some e subtraia  – 2x² – x,  reorganize e reduza os termos semelhantes:

     P(x) = x³ – 6x² + 7x + 4 – 2x² – x + 2x² + x

     P(x) = x³ – 2x² – x – 6x² + 2x² + 7x + x + 4

     P(x) = x³ – 2x² – x + 2x² – 6x² + x + 7x + 4

     P(x) = (x³ – 2x² – x) – 4x² + 8x + 4

     P(x) = x · (x² – 2x – 1) – 4x² + 8x + 4


Coloque  – 4  em evidência nos três termos restantes:

     P(x) = x · (x² – 2x – 1) – 4 · (x² – 2x – 1)


Coloque  (x² – 2x – 1)  em evidência:

     P(x) = (x² – 2x – 1) · (x – 4)


Aqui temos uma divisão exata, onde

     •   o quociente é  Q(x) = x – 4          (grau  1);

     •   o resto é  R(x) = 0.

—————

b)   (3x³ – 13x² + 37x – 50) : (x² – 2x – 5)

     •  Dividendo:   P(x) = 3x³ – 13x² + 37x – 50        (grau  3)

     •  Divisor:   D(x) = x² – 2x + 5                     (grau 2)


Procedendo de forma semelhante ao que foi feito na alínea a), multiplique o divisor por  3x, para fazer aparecer o  3x²  que está no dividendo:

     3x · D(x) = 3x · (x² – 2x + 5)

     3x · D(x) = 3x³ – 6x² + 15x          (ii)


Queremos fazer a expressão  (ii)  aparecer no polinômio dividendo. Após o  3x³,  some e subtraia  – 6x² + 15  ao dividendo,  rearrume a expressão e reduza os termos semelhantes:

     P(x) = 3x³ – 13x² + 37x – 50 – 6x² + 15x + 6x² – 15x

     P(x) = 3x³ – 6x² + 15x – 13x² + 6x² + 37x – 15x – 50

     P(x) = (3x³ – 6x² + 15x) – 7x² + 22x – 50

     P(x) = 3x · (x² – 2x + 5) – 7x² + 22x – 50          (iv)


Fazemos a mesma coisa com a parte restante que ainda não foi fatorada. Multiplique o polinômio divisor  D(x)  por  – 7:

     – 7 · D(x) = – 7 · (x² – 2x + 5)

     – 7 · D(x) = – 7x² + 14x – 35          (v)


No dividendo, após o  – 7x², adicionamos e subtraímos  + 14x – 35. Depois, rearranje os termos e reduza os semelhantes:

     P(x) = 3x · (x² – 2x + 5) – 7x² + 22x – 50 + 14x – 35 – 14x + 35

     P(x) = 3x · (x² – 2x + 5) – 7x² + 14x – 35 + 22x – 14x – 50 + 35

     P(x) = 3x · (x² – 2x + 5) + (– 7x² + 14x – 35) + 8x – 15

     P(x) = 3x · (x² – 2x + 5) – 7 · (x² – 2x + 5) + 8x – 15


Colocando  (x² – 2x + 5)  em evidência,

     P(x) = (x² – 2x + 5) · (3x – 7) + 8x – 15


Essa divisão agora não é exata:

     •   o quociente é  Q(x) = 3x – 7          (grau  1);

     •   o resto é  R(x) = 8x – 15.

—————

c)  (10x³ – 31x² + 26x – 3) : (5x² – 8x + 1)

     •  Dividendo:   P(x) = 10x³ – 31x² + 26x – 3        (grau  3)

     •  Divisor:   D(x) = 5x² – 8x + 1                     (grau  2)


Procedendo de forma análoga, multiplique o polinômio divisor por  2x, para fazer aparecer o  10x³  que está no dividendo:

      2x · D(x) = 2x · (5x² – 8x + 1)

      2x · D(x) = 10x³ – 16x² + 2x          (vi)


Some e subtraia  – 16x² + 2x  ao dividendo, rearrume a expressão e reduza os termos semelhantes:

     P(x) = 10x³ – 31x² + 26x – 3 – 16x² + 2x + 16x² – 2x

     P(x) = 10x³ – 16x² + 2x – 31x² + 16x² + 26x – 2x – 3

     P(x) = (10x³ – 16x² + 2x) – 15x² + 24x – 3

     P(x) = 2x · (5x² – 8x + 1) – 15x² + 24x – 3


Coloque  – 3  em evidência nos três termos restantes:

     P(x) = 2x · (5x² – 8x + 1) – 3 · (5x² – 8x + 1)


Colocando  (5x² – 8x + 1)  em evidência,

     P(x) = (5x² – 8x + 1) · (2x – 3)


Aqui temos uma divisão exata, onde

     •   o quociente é  Q(x) = 2x – 3          (grau  1);

     •   o resto é  R(x) = 0.

—————

d)  (4x⁴ – 14x³ + 15x² – 17x + 5) : (x² – 3x + 1)

     •  Dividendo:   P(x) = 4x⁴ – 14x³ + 15x² – 17x + 5        (grau  4)

     •  Divisor:   D(x) = x² – 3x + 1                     (grau  2)


Multiplique o divisor por  4x²,  para fazer aparecer o  4x⁴  que está no dividendo:

      4x² · D(x) = 4x² · (x² – 3x + 1)

      4x² · D(x) = 4x⁴ – 12x³ + 4x²          (vii)


No dividendo, após o  4x⁴,  some e subtraia  – 12x³ + 4x²,  rearrume a expressão e reduza os termos semelhantes:

      P(x) = 4x⁴ – 14x³ + 15x² – 17x + 5 – 12x³ + 4x² + 12x³ – 4x²

      P(x) = 4x⁴ – 12x³ + 4x² – 14x³ + 12x³ + 15x² – 4x² – 17x + 5

      P(x) = (4x⁴ – 12x³ + 4x²) – 2x³ + 11x² – 17x + 5

      P(x) = 4x² · (x² – 3x + 1) – 2x³ + 11x² – 17x + 5          (viii)


Fazemos a mesma coisa com a parte restante que ainda não foi fatorada. Multiplique o polinômio divisor  D(x)  por  – 2x,  para fazer aparecer o  – 2x³  que está no dividendo:

     – 2x · D(x) = – 2x · (x² – 3x + 1)

     – 2x · D(x) = – 2x³ + 6x² – 2x          (ix)


Some e subtraia  + 6x² – 2x  ao dividendo em  (viii),  rearrume a expressão e reduza os termos semelhantes:

      P(x) = 4x² · (x² – 3x + 1) – 2x³ + 11x² – 17x + 5 + 6x² – 2x – 6x² + 2x

      P(x) = 4x² · (x² – 3x + 1) – 2x³ + 6x² – 2x + 11x² – 6x² – 17x + 2x + 5

      P(x) = 4x² · (x² – 3x + 1) + (– 2x³ + 6x² – 2x) + 5x² – 15x + 5

      P(x) = 4x² · (x² – 3x + 1) – 2x · (x³ – 3x + 1) + 5x² – 15x + 5


Coloque  5  em evidência nos três termos restantes:

      P(x) = 4x² · (x² – 3x + 1) – 2x · (x³ – 3x + 1) + 5 · (x² – 3x + 1)


Por fim, coloque  (x² – 3x + 1)  em evidência:

      P(x) = (x² – 3x + 1) · (4x² – 2x + 5)


Aqui temos uma divisão exata, onde

     •   o quociente é  Q(x) = 4x² – 2x + 5          (grau  2);

     •   o resto é  R(x) = 0.


Bons estudos! :-)