Question

√(6 - 4√2) + √2 é um número irracional.

Certo ou Errado?
Como resolver essa equação?
passo a passo pfvr =)

Answer 1

Começamos por escrever a 1.ª raiz doutra forma mais sugestiva:

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{4 - 2 \times 2 \sqrt{2} + 2}$

Reconhecendo que o radicando tem a forma do quadrado do binómio

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,$

com $a = 2$ e $b = \sqrt{2}$, vem:

$\sqrt{4 - 2 \times 2 \sqrt{2} + 2} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = 2-\sqrt{2}.$

Portanto, vem:

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} + \sqrt{2} = 2 -\sqrt{2}+\sqrt{2} = 2.$

Portanto, a afirmação é errada.

Answer 2

Vamos lá :

$\sqrt{6 - 4\sqrt{2} } + \sqrt{2}$

Lembrando que ....

$\sqrt{a ~\pm~\sqrt{b} }=\sqrt{\dfrac{a + c}{2}}~\pm~\sqrt{\dfrac{a-c}{2}}\\ \\ \\ c = \sqrt{a^{2}-b}$

Sabendo disso desenvolvemos ...

$\sqrt{6-\sqrt{2.4^{2}} } = \sqrt{6-\sqrt{32} }\\ \\\\c=\sqrt{6^{2} - 32}=\sqrt{36 - 32}=\sqrt{4} = 2\\ \\ \\ \\ \sqrt{6-\sqrt{32} }=\sqrt{\dfrac{6 + 2}{2}}-\sqrt{\dfrac{6 - 2}{2}} \\ \\ \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~= \sqrt{\dfrac{8}{2}}-\sqrt{\dfrac{4}{2}} \\ \\ \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~= \sqrt{4}-\sqrt{2} \\ \\ \\ \\~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\boxed{=2 - \sqrt{2} }}$

$\sqrt{6 - 4\sqrt{2} } + \sqrt{2}\\ \\ \\ = \sqrt{6-\sqrt{32} } +\sqrt{2} \\ \\ \\= (2-\sqrt{2} )+\sqrt{2} \\ \\ \\= 2 - \sqrt{2} +\sqrt{2} \\ \\ \\\boxed{\boxed{= 2}}$

Logo concluímos que  $\sqrt{6 - 4\sqrt{2} } + \sqrt{2}$ é racional .

Espero ter ajudado !!!!