Question

(50 PONTOS) Sobre funções reais e classe de diferenciabilidade.
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$\bullet~~$ Mostre usando a definição de derivada que a função

$f(x)=x\!\left|x\right|$

é derivável em $x_0=0.$

$\bullet~~f$ é de classe $C^2$ em $\mathbb{R}?$ Por quê?
$~$

Answer 1

Pela definição de módulo, tem-se que

$|x|=\begin{cases}~~x,~x\ge0\\-x,~x~\textless~0\end{cases}$

Dessa forma,

$f(x)=\begin{cases}~~x^{2},~x\ge0\\-x^{2},~x~\textless~0\end{cases}$

Para que a função seja derivável em $x=0$, o limite

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)}{x}=:f'(0)$

deve existir. Avaliando o limite à esquerda de 0:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{-x^{2}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}-x=0$

Avaliando o limite à direita de 0:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{x^{2}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x=0$

Como os limites laterais existem e são iguais, temos que o limite

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)}{x}$

existe, e, alem disso:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=0=f'(0)$

Logo, $f$ é diferenciável em $x=0$.
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A função não é de classe $C^{2}$, pois sua derivada segunda não é contínua. Veja:

$\bullet$ Achando a derivada de $f$:

Se $x~\textless~0$:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}(-x^{2})=-2x~~(cont\'inua)$

Se $x~\textgreater~0$:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x~~(cont\'inua)$

Se $x=0$, vimos que $f'(0)=0$.

Como

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}-2x=0$

e

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}2x=0$, temos que

$\lim\limits_{x\rightarrow0}f'(x)=0=f'(0)$

Logo, $f'$ é contínua.

$\bullet$ Achando a derivada segunda:

Se $x~\textless~0$:

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}(-2x)=-2$

Se $x~\textgreater~0$:

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}(2x)=2$

Se $x=0$, temos, por definição,

$f''(0)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)}{x},~~se~\exists~o~limite$

Avaliando o limite à esquerda de 0:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{f'(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{-2x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}-2=-2$

Avaliando o limite à direita de 0:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{f'(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{2x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}2=2$

Portanto, $\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0}~\not\exists$

Com isso, $f''$ não existe em $x=0$, logo não é uma função contínua (pois apresenta descontinuidade em $x=0$)

Concluímos que $f$ não é uma função de classe $C^{2}$