Question

(50 PONTOS) Resolva em $\mathbb{R}$ a equação
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$\cos (x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\ldots+\cos(99x)+\cos (100x)=0$

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Resposta:  $x\neq 2k\pi\,\;\;\;\text{e}$

$x=\dfrac{k_{1}\,\pi}{50}\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{(2k_{1}+1)\pi}{101}\,,\;\;\;\;(k,\,k_{1}\in\mathbb{Z}).$

Answer 1

La ecuación se puede compactar como la siguiente sumatoria
                        $\displaystyle \sum_{n=0}^{100}\cos(nx)=1$

Luego podemos probar con la siguiente función $f(n)=\sin[(n-\dfrac{1}{2})x]$ para así tener

        $\displaystyle \sum_{n=0}^{100}f(n+1)-f(n)=f(101)-f(0)\\ \\ \\ \sum_{n=0}^{100}\sin[(n+\dfrac{1}{2})x]-\sin[(n-\dfrac{1}{2})x]=\sin \dfrac{201x}{2} +\sin \dfrac{x}{2}\\ \\ \\ \sum_{n=0}^{100}2\sin \dfrac{x}{2}\cos n x=\sin \dfrac{201x}{2} +\sin \dfrac{x}{2}$
    
        $\displaystyle 2\sin \dfrac{x}{2}\cdot \sum_{n=0}^{100}\cos n x=\sin \dfrac{201x}{2} +\sin \dfrac{x}{2}\\ \\ \\ 2\sin \dfrac{x}{2}=\sin \dfrac{201x}{2} +\sin \dfrac{x}{2}\\ \\ \\ \sin \dfrac{201x}{2} -\sin \dfrac{x}{2}=0\\ \\ \\ 2\sin 50x\,\cos \dfrac{101x}{2}=0\\ \\ \\ 50x=k_1\pi\vee \dfrac{101x}{2}=(2k_2+1)\dfrac{\pi}{2}\\ \\ \\ \boxed{x=\dfrac{k_1\pi}{50}\vee x=\dfrac{(2k_2+1)\pi}{101}}$

La restricción se ve en una de las líneas del algoritmo