Question

(50 PONTOS !!!!) Determinar para quais valores de $x$, a igualdade

$2\mathrm{\,arcsen}(x)=\mathrm{arcsen}(2x\sqrt{1-x^{2}})$

é verdadeira?

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Dicas:
$\bullet\;\;$ $x$ é e valor do seno de um arco, portanto $-1 \leq x \leq 1$;
$\bullet\;\;$ $\mathrm{arcsen}(x)$ é a medida de um ângulo.
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Resposta: $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq x \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

$Ol\actute{a}~~ \\ \\ Aparentemente~parece~ser~a mesma~func\tilde{o}~ao~colocar \\ ~~~~~~~~~~x=sen \theta \\ \\ ~E~vemos~tamb\acute{e}n~que~as~func\tilde{o}es ~involucradas~s\tilde{a}~continuas~[-1,1] ,\\ pero~ser\tilde{a}o~os ~dois~continuamente~~diferenciaveis? \\ A~primeiro~func\tilde{a}o~como~sabemos~\acute{e}~C(-1,1), vemos~que~acontece \\ com~a~segunda: \\ \\ g(x)=arcsen(2x \sqrt{1- x^{2} } )$

$g'(x)= \frac{(2x \sqrt{(1- x^{2}})' }{ \sqrt{1-( 2x \sqrt{1- x^{2} }) ^{2} } } \\ \\ g'(x)= \frac{2 -4x^{2} }{ \sqrt{1- x^{2} } . \sqrt{4 x^{4}-4 x^{2} +1 } } \\ \\ g'(x)= \frac{2-4 x^{2} }{ \sqrt{1- x^{2} }.|2 x^{2} -1| } \\ \\ g'(x)= \frac{2sing(1-2 x^{2} )}{ \sqrt{1- x^{2} } } \\ \\ Como~vemos~tem~dois~pontos~de~discontinuidade~e~istos~s\tilde{a}o:$

$1-2 x^{2} =0==\ \textgreater \ x=\pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ tamb\acute{e}m~notemos~que: \\ 2 x^{2} -1\ \textgreater \ 0==\ \textgreater \ x\in(- \frac{ \sqrt{2} }{2} , \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ \\ as~derivadas~de~ambas~as~func\tilde{o}es~s\tilde{a}o~iguais~e~continuas~no \\ mencionado~intervalo, em~cambio~sim: \\ \\ x\in(-\infty,- \frac{ \sqrt{2} }{2}] \cup[ \frac{ \sqrt{2} }{2},+\infty) \\ \\ As~derivadas~s\tilde{a}o~opostos(aditivamente)~esto~seria~um~indicio \\ que~as~curvas~se~ramificam~em~direc\tilde{o}es~oposta, a~primeira~pra \\ acima,$

$e ~outra~pra~baixo(vc~pode~provar~com~a~ajuda~da~segunda \\ derivada,criterio~de~convavidade). \\ \\ Como~disse~as~duas~func\tilde{o}es~s\tilde{a}o~continuas~em~[-1,1], \\ aparentemente~se~parecem.Agora~j\acute{a}~sabemos~onde~tem~as \\ mesmas~caracteristicas. \\ \\ x\in[- \frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2} }{2} ]$

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                                 Espero ter ajudado!!

Answer 2

Ola Lukyo

2arcsen(x) - arcsen(2x√(1 - x²)) = 0

cos( 2arcsen(x) - arcsen(2x√(1 - x²)) = 1

meu livro de trigonometria fala

cos(a - b) = cos(a)*cos/b( - sen(a)*sen(b)
cos(2arcsen(z)) = 1 - 2z²
cos(-arcsen(z)) = √(1 - z²)
sen(2arcsen(z))= 2z*√(1 - z²)
sen(-arcsen(z)) = -z 

utilizando essas relações encontramos

4x² *(x² - 1) + (1 - 2x²)*√(1 - 4x²*(1 - x²) = 1
(1 - 2x²)*√(1 - 4x²*(1 - x²)  = 1 - 4x² *(x² - 1)

elevado ao quadrado
(1 - 2x²)²* (1 - 4x²*(1 - x²) = (1 - 4x² *(x² - 1))²

equação 
16x^8 - 32x^6 + 24x^4 - 8x^2 + 1 = 0
(2x² - 1)^4 = 0
2x² = 1
x² = 1/2

x1 = -√2/2
x2 = √2/2

a equação tem dois pontos minimos P1(-√2/2, 0), P2(√2/2,0)
e um ponto maximo P3(0,1) 

a igualdade é verdadeira em intervalo [P1,P2] 

portanto 

-√2/2 ≤ x ≤ √2/2