Question

5) Complete a tabela das razões trigonométricas​

Answer 1

fazendo f(x) = sin(x), temos:

f'(x) = d/dx sin(x)

como a derivada de sin(x) é cos(x),

f'(x) = cos(x)

f''(x) = d/dx cos(x)

como a derivada de cos(x) é -sin(x),

f''(x) = -sin(x)

f'''(x) = d/dx -sin(x)

f'''(x) = -cos(x)

f''''(x) = d/dx -cos(x)

f''''(x) = sin(x)

pelas séries de Taylor,

f(a) = f(x)/0! (a - x)^0 + f'(x)/1! (a - x)^1 + f''(x)/2! (a - x)^2 + f'''(x)/3! (a - x)^3 + f''''(x)/4! (a - x)^4 + ... until infinity

como queremos o valor de sin(a),

sin(a) = sin(x)/0! (a - x)^0 + cos(x)/1! (a - x)^1 + -sin(x)/2! (a - x)^2 + -cos(x)/3! (a - x)^3 + sin(x)/4! (a - x)^4 + ... until infinity

considerando x = 0,

sin(a) = sin(0)/0! (a - 0)^0 + cos(0)/1! (a - 0)^1 + -sin(0)/2! (a - 0)^2 + -cos(0)/3! (a - 0)^3 + sin(0)/4! (a - 0)^4 + ... until infinity

utilizando-se do primeiro valor que tu pedes na tabela (30°, ou pi/6):

sin(pi/6) = sin(0)/0! (pi/6 - 0)^0 + cos(0)/1! (pi/6 - 0)^1 + -sin(0)/2! (pi/6 - 0)^2 + -cos(0)/3! (pi/6 - 0)^3 + sin(0)/4! (pi/6 - 0)^4 + cos(0)/5! (pi/6 - 0)^5 ... until infinity

sin(pi/6) = 0/1 (pi/6)^0 + 1/1 (pi/6)^1 - 0/2 (pi/6)^2 - 1/6 (pi/6)^3 + 0/24 (pi/6)^4 + 1/120 (pi/6)^5 ... until infinity

observando o padrão, podemos montar um somatório:

sin(pi/6) = 0 + 1/1! (pi/6)^1 + 0 - 1/3! (pi/6)^3 + 0 + 1/5! (pi/6)^5 ... until infinity

sin(pi/6) = sum((-1)^(n)/(2n + 1)! * (pi/6)^(2n + 1)) n = 0 to infinity

ao calculá-lo valendo-se das cinco primeiras entradas e da igualdade pi = 3.141592,  chegamos a:

sin(pi/6) =~ 0.499999905

o que pode ser arredondado e, ao se utilizar de mais entradas, mais acurado para:

sin(pi/6) = 0.50

então,

sin(30°) = 1/2

fazendo o mesmo para os outros valores, tu chegas a

sin(45°) = sqrt2/2

sin(60°) = sqrt3/2

se fizeres o processo para o cos(x), também obténs o requisitado, mas podes-te utilizar do seguinte fundamento:

sin(pi/2 - x) = cos(x)

portanto:

cos(60°) = sin(90° - 60°)

cos(60°) = sin(30°)

cos(60°) = 1/2

cos(45°) = sin(90° - 45°)

cos(45°) = sin(45°)

cos(45°) = sqrt2/2

cos(30°) = sin(90° - 30°)

cos(30°) = sin(60°)

cos(30°) = sqrt3/2

e, já que a tangente é igual ao seno dividido pelo cosseno, tem-se:

tan(30°) = sqrt3/3

tan(45°) = 1

tan(60°) = sqrt3