Question

5.2 Para delimitar um galinheiro em um amplo quintal, dispõe-se de 80 m (lineares) de uma tela. Deseja-se usar completamente a tela disponível, e a região cercada deve ser um retângulo. Fixado o perímetro, são inúmeras as possibilidades para os lados do retângulo, como pode- mos perceber nos exemplos a seguir: 15 m 25 m 30 m 23 m 10 m X 17 m Fonte: Elaborada pelos autores. A área A do retângulo é uma função do comprimento de seus lados. Entre todas as possibilidades para os lados, procura-se, naturalmente, aquela que corresponde à maior área possível para o retângulo. 40 - X Para o cálculo das medidas dos lados, do retângulo, temos: Perímetro: 2x + 2y = 80⇒ y = 40 - x Dessa forma: Fonte: Elaborada pelos autores. a) Quais devem ser as medidas dos lados do retângulo para que sua área seja a maior possível? b) Qual é o valor da área máxima?​

Answer 1

a) Os lados do retângulo devem medir 20 metros para que a área seja máxima.

b) A área máxima será de 400 m².

Cálculo de áreas

Sabemos que de acordo com a equação do perímetro, um dos lados do retângulo pode ser dado por y = 40 - x, logo, seja a área do retângulo dada por A = xy, onde x e y são as medidas dos lados, teremos:

A = x·(40 - x)

A = 40x - x²

a) Para que a área seja máxima, devemos encontrar a coordenada x do vértice. Com a = -1, b = 40 e c = 0, teremos:

xv = -b/2a

xv = -40/2·(-1)

xv = 20 m

Logo, a medida do outro lado é:

y = 40 - 20

y = 20 m

b) Se a medida de um dos lados é 20 metros para a área máxima, essa área será:

Amáx = 20·20

Amáx = 400 m²

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#SPJ1