Question

(40 PONTOS) Como decompor a função racional
$f(x)=\dfrac{1}{x^{4}+1}$
em frações parciais?

Answer 1

Olá Lukyo 

a função 1/(x⁴ + 1) pode ser fatorada assim

-1/((-x² + √2x - 1)*(x² + √2x + 1)) 

vamos colocar essa função sobre a forma

-(α2 + α1x)/(-x² + √2x - 1) - (α4 + α3x)/(x² + √2x + 1) 

temos 

1 = α1x*(x² + √2x + 1) + α2*(x² + √2x + 1) + α3x*(-x² + √2x - 1) + α4*(-x² + √2x - 1)

sistema

α2 - α4 = 1
α1 + √2α2 - α3 + √2α4 = 0
√2α1 + α2 + √2α3 - α4 = 0
α1 - α3 = 0

α2 - α4 = 1
√2α2 + √2α4 = 0
√2α2 - √2α4 = √2
2√2α2 = √2
α2 = 1/2

α4 = α2 - 1 = 1/2 - 1
α4 = -1/2 

α1 - α3 = 0
√2α1 + √2α3 = -1
√2α1 - √2α3 = 0
2√2α1 = -1
α1 = -1/2√2
α3 = α1 
α3 = -1/2√2

α1 = -1/2√2
α2 = 1/2
α3 = -1/2√2
α4 = -1/2 

1/(x⁴ + 1) = (-α2 + α1x)/(-x² + √2x - 1) - (α4 + α3x)/(x² + √2x + 1) 

1/(x⁴ + 1) = (1/2 -1/2√2x)/(-x² + √2x - 1) + (1/2 + 1/2√2x)/(x² + √2x + 1) 

1/(x⁴ + 1) = (x - 1)/(2√2*(-x² + √2x - 1)) + (x + √2)/(2√2*(x² + √2x + 1))