Matemática, perguntado por gibs5, 5 meses atrás

4. (Unicamp/SP) Sejam A, B, C e N quatros

pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura

abaixo.

a) Calcule o raio da circunferência que passa

pelos pontos A, B e N.

b) Calcule o comprimento do segmento .NB

Anexos:

decioignacio: na letra b ... calcular qual segmento??

gibs5: NB

decioignacio: ok

gibs5: não tinha visto que cortou

decioignacio: infelizmente não estou ''enxergando'' a solução... contudo, para ajudar, adianto que o quadrilátero tendo dois ângulos internos de soma 120 + 150 = 270 implica que a soma dos outros dois internos vale 360 - 270 = 90... assim podemos afirmar que ABCN é inscritível no círculo... tentei usar Ptolomeu ou Hiparco mas não tive sucesso...usando lei dos cossenos achei diagonal AC = 5 + 2raizde3 que não foi útil..para o triângulo ABN...

gibs5: muito obrigada!!

gibs5: já ajudou

decioignacio: apliquei propriedade que em todo triângulo inscrito num círculo cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto é dobro do raio...assim lado AB = 1 divido por 1/2 (seno de 30°) = 2R ... logo 2R = 2 ... R = 1...neste contexto não entendo porque o lado AB seria o próprio raio... daí ''queimei'' a ''mufa'''... desculpe não poder ajudar... de qualquer forma vou pesquisar... quem sabe mais tarde acho a solução... rsrsrs

decioignacio: em tempo... cometi engano quando disse que o quadrilátero seria inscrito por ter a soma de dois ângulos opostos valendo 90° (complementares)... somente se a soma dos opostos for 180° (suplementares) seria correto... então VAMOS ESQUECER A ''BOBAGEM''AFIRMADA...assim nem pensar em Polomeu e Hiparco... quanto a diagonal AC tudo certo... ela vale 5 + 2raizde3...desculpe a mancada... continuarei pesquisando...

Soluções para a tarefa

Respondido por decioignacio

Resposta:

Explicação passo a passo:

considerando possibilidade de existir um círculo circunscrito ao Δ ABN e aplicando propriedade de cada lado de tal triângulo dividido pelo seno do ângulo oposto valer 2Raios

considerando que, por proposta do problema, ângulo ANB = 30°

então

___AB___ = 2R

sen ANB

__1__ = 2R

sen30

__1__ = 2R

1/2

2 = 2R

r = 2/2

R = 1

seja ''O'' o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABN

então

OA = 1 e ON = 1

logo ΔAOB será equilátero de lado = 1

lembrando, na proposta, BNA = 30° ⇒ também BNO = 30°

logo ΔBON isósceles de ângulos BNO e OBN = 30° e BON = 120°

aplicando lei dos Cossenos no ΔBON

BN² = OB² + ON² - 2(OB)(ON)cosBON

BN² = 1² + 1² - 2(1)(1) cos120°

BN² = 1 + 1 -2(-1/2)

BN² = 1 + 1 + 1

BN² = 3

BN = √3

gibs5: muito obrigada!!

Respondido por BrenoSousaOliveira

Com base na lei dos senos temos que a) R = 1, b)NB = √2

Lei dos senos

Calcular a distância entre dois objetos muito distantes foi tarefa de alguns cientistas da Antiguidade. Com a evolução da ciência e da tecnologia, esses cálculos se tornaram cada vez mais preciosos. Na engenharia civil, a construção de megaempreendimentos, além de complexa, é de alto risco, pois qualquer erro de cálculo pode redundar em consequências muito graves. A lei dos senos é uma maneira de auxiliar nesses cálculos.

"Sendo AB= c, AC = b e BC = a as medidas dos lados de um triângulo ABC e R o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo."