Question

38.

Se k é um número real maior que zero, então      1        

                                                                               

                                                                   √k²+1  -k

a)diminui quando k aumenta

b)é menor que 0

c)está ente 0 e k

d)está entre k e 2k

e)é maior que 2k

 

Quero a resposta coma explicação.

Answer 1

Questão de racionalização de denominadores.

i) Vamos racionalizar o denominador dessa fração, que vamos chamar de F:

$F=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}-k}.\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{\sqrt{k^2+1}+k}\Rightarrow F=\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{(\sqrt{k^2+1})^2-k^2}\Rightarrow F=\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{k^2+1-k^2}\\ \\ \boxed{F=\sqrt{k^2+1}+k}$

ii) Perceba, agora, que k²+1 > k². Tirando a raiz dos dois membros temos que:

$\sqrt{k^2+1}>k$

E somando k em ambos os membros dessa desigualdade temos que

$\sqrt{k^2+1}+k>2k$

Mas perceba que o primeiro membro dessa desigualdade é justamente F, como calculamos acima. Portanto, finalizando, temos que:

$\boxed{\boxed{F>2k}}$

R: e) é maior que 2k