Question

(30 PONTOS) Mostrar que, para $0\leq x<\dfrac{\pi}{2},$
é verdade que

$x\leq \mathrm{tg\,}x\leq x\sec^{2}x.$

Answer 1

Tome $f(x) = tg(x)$
Sabemos que:
$\frac{|f(x)-f(0)|}{x - 0}\leq |f'(x_{0}|$, com $0 < x_{0} <\frac{\pi}{2}$
A igualdade valendo somente quando $x = x_{0}$.
Dessa forma:
$\frac{tgx}{x} \leq sec^{2}{x_{0}}$

Veja ainda que $\lim_{x \to \ 0} \frac{tgx}{x} =1 \leq \frac{tgx_{0}}{x_{0}}$

Portanto teremos:
$1 \leq \frac{tgx}{x} \leq sec^{2}x$
Multiplicando todos os membro por x:
$x \leq tgx \leq xsec^{2}x$