3) Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal xOy. Consideremos a circunferência orientada de centro na origem O do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário. Tal circunferência é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico ou ainda círculo trigonométrico. […]
Dadas as afirmativas sobre as linhas trigonométricas definidas num ciclo trigonométrico,
I. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sen x e cos x são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1.
II. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sec x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa tg x.
III. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então cotg x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa cossec x.
verifica-se que está(ão) correta(s) apenas:
A) I
B) II
C) I e II
D) II e III
E) I e III
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
π ≈ 3,1416 ⇒ π/2 ≈ 1,57 ⇒ (0 < x < 1,5) ∈ Iº quadrante
alternativa E)
Utilizando relações fundamentais de trigonometria e teorema de Pitágora, temos que somente a I e a III estão corretas, portanto, letra E.
Explicação passo-a-passo:
Para demonstrarmos estas propriedades, vamos partir da mais fundamental de todas que é para qualquer angulo real 'x', a soma dos quadrados de seu seno e seu cosseno é sempre 1, ou seja:
sen²(x) + cos²(x) = 1
Esta é uma realidade que vamos tomar por base para concretizar as outras provas.
Outra propriedade que também iremos utilizar é o Teorema de Pitágoras, que nos diz que uma triangulo retangulo com hipotenusa 'h' e catetos 'a' e 'b' possuem a seguinte propriedade juntos:
h² = a² + b²
E com isso podemos ir as questões:
I. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sen x e cos x são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1.
Então temos que um cateto é sen(x) e o outro é cos(x), ou seja:
a = sen(x)
b = cos(x)
Assim substituind oisto no Teorema de Pitágoras, temos que:
h² = a² + b²
h² = sen²(x) + cos²(x)
Mas note que o lado direito desta equação é exatamente a propriedade fundamental que discutimos antes que é igual a 1, ou seja:
h² = sen²(x) + cos²(x) = 1
h² = 1
h = 1
Assim vemos que de fato este valores são catetos de um hipotenusa igual a 1.
II. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sec x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa tg x.
Desta vez vamos partir diretamente da propriedade fundamental inicial:
sen²(x) + cos²(x) = 1
Vamos dividir todos os termos por cos²(x):
sen²(x)/cos²(x) + cos²(x)/cos²(x) = 1/cos²(x)
[ sen(x)/cos(x) ]² + 1 = [ 1/cos(x) ]²
Sabemos que seno dividido por cosseno é a tangente, e sabemos que o cosseno invertido, ou seja, 1 sobre cosseno é a chamada secante, então substituindo estes resultados, temos:
[ sen(x)/cos(x) ]² + 1 = [ 1/cos(x) ]²
[ tg(x) ]² + 1 = [ sec(x) ]²
[ tg(x) ]² + [ 1 ]² = [ sec(x) ]²
Assim temos esta nova propriedade, onde se chamarmos sec(x) de hipotenusa 'h' e tg(x) e 1 dos catetos 'a' e 'b', teremos novamente o Teorema de pitagoras:
[ tg(x) ]² + [ 1 ]² = [ sec(x) ]²
a² + b² = h²
Assim temos que esta afirmativa é falsa, pois ela está invertida, quem é o hipotenusa neste caso é sec(x) e não tg(x).
III. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então cotg x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa cossec x.
Vamos fazer algo parecido com a questão anterior partindo da equação fundamental, porém ao invés de dividir a todos por cos(x), iremos dividir por sen(x):
sen²(x) + cos²(x) = 1
sen²(x)/sen²(x) + cos²(x)/sen²(x) = 1/sen²(x)
1 + [ cos(x)/sen(x) ]² = [ 1/sen(x) ]²
Sabemos agora que seno sobre cosseno é a tangente, então o cosseno sobre o seno é o inverso disto, que é a chamada cotangente. Além disso chamamos do inverso do seno, ou seja, 1 sobre seno de cossecante. Substituindo estes valores, temos:
1 + [ cos(x)/sen(x) ]² = [ 1/sen(x) ]²
1 + [ cotg(x) ]² = [ cossec(x) ]²
[ 1 ]² + [ cotg(x) ]² = [ cossec(x) ]²
Assim vemos que se chamarmos a cossecante de uma hipotenusa 'h', 1 e cotangente dos catetos 'a' e 'b', voltaremos ao Teorema dePitágoras:
[ 1 ]² + [ cotg(x) ]² = [ cossec(x) ]²
a² + b² = h²
Assim vemos que de fato esta afirmativa esta correta, pois a cossecante é a hipotensua e a cotangente é um cateto.
Conclusão final:
Assim analisando as afirmativas, vemos que somente a I e a III estão corretas, portanto, letra E.
Para mais questões de trigonometria, recomendo checar:
https://brainly.com.br/tarefa/22296805
https://brainly.com.br/tarefa/22807995
