Question

3) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits sin^{3}~x~cos^{2}~x } \, dx$

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int{sin^3(x)cos^2(x)} \, dx$

Usando:

$sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$

Temos:

$\int{(1 - cos^2(x))sin(x)cos^2(x)} \, dx$

Usando a integral por substituição:

$u = cos(x) \to du = -sin(x) dx$

Logo:

$\int{(1 - cos^2(x))sin(x)cos^2(x)} \, dx \\ \\ \int{ - (1 - u^2)u^2} \, du \\ \\ \int{u^4 -u^2} \, du \\ \\ \int{u^4} \, du - \int{u^2} \, du \\ \\ \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} \\ \\ \frac{cos^5(x)}{5} - \frac{cos^3(x)}{3} + C$

Answer 2

Vamos resolver essa integral por substituição, vejamos:

Antes de mais nada, podemos fazer algumas manipulações para facilitar nossos cálculos, como por exemplo, fatorar esse sen³x e reescrever cos²x como sendo 1 - sen²x para expressarmos isso em termos de seno, veja como fica isso na prática:

$\mathsf{\displaystyle\int~sin^{3}x~cos^{2}x~dx}}=\mathsf{\displaystyle\int~sinx~\cdot~sin^{2}x~cos^{2}x~dx}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int~(1-cos^{2}x)cos^{2}x~\cdot~sin^{2}x~dx}}}}}}$

Façamos a seguinte substituição:

$\left\{\begin{matrix} \mathsf{u=cos~x}} & \\ \mathsf{du=-sin~x~dx}& \end{matrix}\right$

Veja:

$\mathsf{\displaystyle\int~(1-cos^{2}x)cos^{2}x~\cdot~sin^{2}x~dx}}}\\\\\\\\ \mathsf{-\displaystyle\int~(1-u^{2})~u^{2}~du}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int~u^{4}-u^{2}~du}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{u^{5}}{5}-\dfrac{u^{3}}{3}+C}}}}\ =\mathsf{\dfrac{cos^{5}x}{5}-\dfrac{cos^{3}x}{3}+C}}}}\\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\int~sin^{3}x~cos^{2}x~dx=\dfrac{cos^{5}x}{5}-\dfrac{cos^{3}x}{3}+C}}}}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}}$

Espero que te ajude. '-'