Question

25. Um brilhante com formato de um octaedro é exibido em uma concorrida exposição. Por medida de segurança, ele foi colocado no interior de um cubo de vidro com seus vértices tocando, precisamente no meio de cada face do cubo, conforme a figura ao lado. Se o volume do cubo é 1.728 cm3 , o volume do octaedro, em cm3 , será

Answer 1

Para calcularmos o volume do octaedro, precisamos inicialmente obter a medida de sua aresta. Para isto, conhecemos o volume do cubo. Então, podemos obter inicialmente a medida da aresta do cubo (ac) e, a seguir, a partir dela, obter o valor da aresta do octaedro (ao).

A aresta de um cubo (ac) é igual à raiz cúbica de seu volume (V):

ac = ∛V
ac = ∛1.728

ac = 12 cm, aresta do cubo

As arestas do octaedro (ao) inscrito num cubo são iguais à hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, no qual os catetos são iguais à metade da arestas do cubo:

ao² = (ac/2)² + (ac/2)²
ao² = 2(ac/2)²

ao = 6√2, aresta do octaedro

O volume do octaedro (Vo) é igual ao volume de duas pirâmides (Vp) de base quadrada, cujas bases coincidem e cujos vértices principais são opostos com relação à base:

Vo = 2 × Vp

O volume de cada uma das pirâmides (Vp) é igual à terça parte do produto da área de sua base (Ab) pela altura (h):

Vp = Ab × h ÷ 3

A área da base da pirâmide (Ab) é a área de um quadrado de lado igual à aresta do octaedro:

Ab = ao²
Ab = (6√2)²

Ab = 72 cm², base da pirâmide

A altura da pirâmide (h) é igual à metade da aresta do cubo:

h = 12 cm ÷ 2 = 6 cm

Então, o volume de uma das pirâmides é igual a:

Vp = 72 cm² × 6 cm ÷ 3

Vp = 144 cm³

Então, o volume do octaedro (Vo) é igual a:

Vo = 2 × 144 cm³

Vo = 288 cm³

R.: O volume do octaedro é igual a 288 cm³

Obs.: Note que o volume do octaedro é igual a 1/6 do volume do cubo