Question

25. (Esaf) A função bijetora dada por f(x) =
x + 1
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x - 1
possui domínio no conjunto dos números reais menos o número 1,
ou seja: R - {1}. Com isso, a função inversa de f, denotada
por f-¹ é definida como:​

Answer 1

Utilizando definição de função inversa e bastante tecnicas algebricas, encontramos a função inversa, que por coincidência é exatamente igual a função original, ou seja, ela também esta definida em R - {1}.

Explicação passo-a-passo:

Note que temos a função:

$y=\frac{x+1}{x-1}$

E esta função só não existe em x=1, pois se x fosse 1, então teriamos uma divisão por 0 e logo não existiria. Assim vamos encontrar a inversa desta função e usar a mesma lógica na função inversa.

Para encontrar a inversa, vamos transformar esta função substituindo x por outra letra, vamos substituir x-1 por t:

$x-1=t$

Ou

$x=t+1$

Eu resolvi substituir, pois agora a função ficará mais simples, observe:

$y=\frac{x+1}{x-1}$

$y=\frac{t+1+1}{t}$

$y=\frac{t+2}{t}$

E como esta função só tem um divisor, podemos facilmente separa-la em duas frações:

$y=\frac{t+2}{t}$

$y=\frac{t}{t}+\frac{2}{t}$

$y=1+\frac{2}{t}$

Agora que esta função esta muito mais simples, podemos voltar com o x, substituindo t por x-1 novamente:

$y=1+\frac{2}{x-1}$

Agora queremos encontrar a função inversa, então temos que isolar x:

$y=1+\frac{2}{x-1}$

$y-1=\frac{2}{x-1}$

$(y-1)(x-1)=2$

$x-1=\frac{2}{y-1}$

$x=\frac{2}{y-1}+1$

$x=\frac{2}{y-1}+\frac{y-1}{y-1}$

$x=\frac{2+y-1}{y-1}$

$x=\frac{y+1}{y-1}$

E então encontramos a função inversa, que por coincidência é exatamente igual a função original, ou seja, ela também esta definida em R - {1}.