Question

22. Um número natural N, ao ser dividido por 10, deixa resto 9; ao ser dividido por 9, deixa resto 8 e, ao ser
dividido por 8, deixa resto 7. Qual a soma dos dois menores valores de N que satisfazem essas condições?
a) 360.
b) 720.
c) 1078.
d) 1080.
e) 1439.

Answer 1

Resposta correta Opção c) 1078

Queremos um numero que, ao ser dividido por 10, deixe resto 9, ao ser dividido por 9, deixe resto 8 e, ao ser dividido por 8, deixe resto 7.

Para isso, repare que:

Ao ser dividido por 10, um numero deixará resto 9 se ele for da forma $N=k\cdot10+9$

Ao ser dividido por 9,  um numero deixará resto 8 se ele for da forma $N=k\cdot9+8$

Ao ser dividido por 8,  um numero deixará resto 7 se ele for da forma $N=k\cdot8+7$

Podemos escrever cada uma dessas formas de uma maneira diferente que darão o mesmo resultado:

$N=k\cdot10+9\implies N=k\cdot10+(10-1)$

$N=k\cdot9+8\implies N=k\cdot10+(9-1)$

$N=k\cdot8+7\implies N=k\cdot10+(8-1)$

e como $k\cdot10+10-1=(k+1)\cdot10 -1$, podemos escrever que k no lugar de k+1 (k é variável muda)

Assim teremos;

$N=k\cdot10-1$ (deixa resto 9)

$N=k\cdot9-1$  (deixa resto 8)

$N=k\cdot8-1$  (deixa resto 7)

Isto vai valer para os 3 casos ao mesmo tempo se multiplicar-mos k pelo mmc de 10, 9 e 8

Ou seja, $N=k\cdot mmc(10,9,8)-1$  

$N=k\cdot 360-1$  

Para k=1, encontramos que N=359

Para k=2 encontramos que N=719

Cada um destes dois numeros, ao ser dividido por 10, 9 e 8 deixará os restos  pedidos.

Realizando a soma dos dois numeros encontrados:

719+359=1078

Answer 2

A definição da alternativa correta é feita a seguir.

Explicação passo-a-passo:

Todo número que, ao ser dividido por 10, deixa o resto 9, tem que ser terminado em 9.

Logo, a soma de dois números terminados em 9, terminará em 8.

A única das opções apresenta essa característica é a letra c.

A propósito, os dois menores valores de N que satisfazem essas condições são 359 e 719, cuja soma é igual a 1078.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.