Question

Determine em R as soluções da equação:
sen(x)^2-cos(x)^2=sen(x)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

sen²x-cos²x=senx

sabemos que/sen²x+cos²x=1

cos²x=1-sen²x

1)logo/ sen²x-(1-sen²x)=senx

sen²x-1+sen²x=senx

2sen²x-senx -1=0

2)senx=y

logo/2y²-y-1=0

3)báskara/∆=b²-4.a.c

∆=1²-4.2.(-1)

∆=9

x=-b+ou-✓∆/2.a

y¹=1

y²=-1/2

4)senx=y

logo/ senx=1=π/2 ou 90°

senx=-1/2=7π/6 ou 150° ou 11π/6 ou 330°

Answer 2

Resolver a equação trigonométrica em

    $\mathsf{sen^2(x)-cos^2(x)=sen(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen^2(x)-\left[1-sen^2(x)\right]=sen(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen^2(x)-1+sen^2(x)=sen(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2\,sen^2(x)-1=sen(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2\,sen^2(x)-sen(x)-1=0}$

Faça uma mudança de variável:

    $\mathsf{sen(x)=t,\quad com~-1\le t\le 1}$

e a equação fica

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2t^2-t-1=0}$

Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula resolutiva de Báscara:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad \Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=1+8}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=9}$

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{1\pm 3}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{1-3}{4}\quad ou\quad t=\dfrac{1+3}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{-2}{4}\quad ou\quad t=\dfrac{4}{4}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad t=-\,\dfrac{1}{2}\quad ou\quad t=1}$

Substitua de volta t = sen(x):

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen(x)=-\,\dfrac{1}{2}\quad ou\quad sen(x)=1}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen(x)=sen\!\left(\!-\,\dfrac{\pi}{6}\right)\quad ou\quad sen(x)=sen\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$

Em ambos os casos, temos uma igualdade entre senos. Senos são iguais para arcos côngruos ou côngruos de seu suplementar. Sendo assim, aplicamos o seguinte resultado:

    $\mathsf{sen(\alpha)=sen(\beta)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta+k\cdot 2\pi\quad ou\quad \alpha=(\pi-\beta)+k\cdot 2\pi}$

com k inteiro.

Vamos analisar cada possibilidade separadamente e depois reunir as soluções:

Para $\mathsf{sen(x)=sen\!\left(\!-\,\dfrac{\pi}{6}\right),}$  obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad x=-\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\qquad ou\qquad x=\left(\pi-\left(-\,\dfrac{\pi}{6}\right)\right)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=-\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\qquad ou\qquad x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=-\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\qquad ou\qquad x=\dfrac{7\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-\pi+12k\pi}{6}\qquad ou\qquad x=\dfrac{7\pi+12k\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\qquad x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (-1+12k)\qquad ou\qquad x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (7+12k)}$

com k inteiro.

Para $\mathsf{sen(x)=sen\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right),}$  obtemos apenas um caso, já que o suplementar de $\mathsf{\dfrac{\pi}{2}}$  é o próprio $\mathsf{\dfrac{\pi}{2}:}$

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi+4k\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+4k)}$

com k inteiro.

Logo, o conjunto solução é

    $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (-1+12k)\quad ou\quad x=\dfrac{\pi}{6}\cdot (7+12k)\quad ou\quad x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+4k),~~com~k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)