Question

20 PONTOS - URGENTE

Preciso dos calculos, sabendo que o objetivo é entender a questão e não obter o resultado

$x^{2} +3x-16 / - x^{2} +7x-10 \geq 1$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luan, o moderador Tiagumacos concedeu a oportunidade a que outros usuários pudessem dar a resposta a esta questão. E você está correto em afirmar: o objetivo é "entender" a questão e não obter o resultado. Entretanto, em tudo há de haver a devida ponderação: quando um método é utilizado por algum usuário respondedor de modo equivocado, vai dar respostas também equivocadas. E isso, com certeza, não é o objetivo de ninguém, principalmente de alguém que está tentando aprender a técnica correta de resolver alguma coisa.
Bem, visto isso, vamos tentar responder à sua questão e tentaremos fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte inequação:

(x² + 3x - 16) / (-x² + 7x - 10) ≥ 1 ----- vamos colocar o "1" do 2º membro para o 1º membro, com o que ficaremos:

(x² + 3x - 16) / (-x² + 7x - 10) - 1 ≥ 0 ----- mmc = (-x²+7x-10). Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[1*(x²+3x-16 + (-x²+7x-10)*(-1)]/(-x²+7x-10) ≥ 0 ---- veja: como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos reescrever assim:

[1*(x²+3x-16) + (-1)*(-x²+7x-10)]/(-x²+7x-10) ≥ 0 ---- desenvolvendo, teremos (veja que: +(-1) = -1):

[1*(x²+3x-16) - 1*(-x²+7x-10)]/(-x²+7x-10) ≥ 0 ---- ou, o que é a mesma coisa:
[(x²+3x-16) - (-x²+7x-10)]/(-x²+7x-10) ≥ 0 ---- retirando-se os parênteses que estão no numerador, iremos ficar assim:

[x²+3x-16 + x²-7x+10]/(-x²+7x-10) ≥ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes do numerador, teremos;

[2x² - 4x - 6]/(-x²+7x-10) ≥ 0 --- ou apenas:
(2x² - 4x - 6)/(-x²+7x-10) ≥ 0

Agora note: temos uma inequação quociente formada por duas funções do 2º grau, sendo: no numerador temos f(x) = 2x²-4x-6 e, no denominador, temos g(x) = -x²+7x-10.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações dadas. Depois disso, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Assim:

f(x) = 2x²-4x-6 ---> raízes: 2x²-4x-6 = 0 ---> x' = -1; e x'' = 3
g(x) = -x²+7x-10 ---> raízes: -x²+7x-10 = 0 ---> x' = 2; e x'' = 5.

Agora faremos o seguinte: estudaremos a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. No fim, daremos qual é o conjunto-solução da inequação-quociente f(x)/g(x). Assim teremos:

a) f(x) = 2x²-4x-6 ... + + + + + + + (-1) - - - - - - - - - - -  (3) + + + + + + + + + + +
b) g(x) = -x²+7x-10.. - - - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + (5) - - - - -
c) a / b ................... - - - - - - - - -  (-1)++++(2)- - - - - - - (3)+ + + + + + (5) - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS (ou é igual a zero) no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, teremos que o conjunto-solução será dado pelos seguintes intervalos reais:

- 1 ≤ x < 2 ; ou 3 ≤ x < 5 ------ Esta é a resposta correta.

Mas aí você poderá perguntar: por que o "x" poderá ser maior ou igual a "-1" e  maior ou igual a "3", mas apenas menor do que "2" e apenas menor do que "5"?
Resposta: porque "2" e o "5" são raízes do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser menor ou igual a "2" ou menor ou igual a "5", estaríamos admitindo divisão por zero e isso não existe (lembre-se: toda raiz faz zerar a equação da qual ela é raiz). Por isso é que, embora o "x" possa ser maior ou igual a "-1" e "3" só poderá ser menor do que "2" ou "5" (e nunca menor ou igual).

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | - 1 ≤ x < 2 ; ou 3 ≤ x < 5}.

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = [-1; 2) ∪ [3; 5).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.