Question

(20 PONTOS) Considere a função modular:
$~$
$f(x)=|x|$

Mostre, utilizando a definição de derivada, que para todo $x\neq 0,$

$f'(x)=\dfrac{x}{|x|}$

Answer 1

Hola

veamos el siguiente límite

            $L=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|x|-|x_0|}{x-x_0}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|x|^2-|x_0|^2}{(x-x_0)(|x|+|x_0|)}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x+x_0}{|x|+|x_0|}\\ \\ \\ L=\dfrac{x_0}{|x_0|}$

y qué sucedería si $x_0=0$
                       
                       $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}\\ \\ \\ \text{Verifiquemos los l\'imites laterales: }\\ \\ \\ L_{-}=\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{|x|}{x}=-1\\ \\ \\ L_{+}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{|x|}{x}=1\\ \\ \\ \text{Por ende no existe el l\'imite cuando }x\to0$