Question

20. No sistema de coordenadas cartesianas a seguir,
está representado o triângulo ABC.
С
5-
3
A
B
3
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.

Answer 1

Resposta:

a) Demonstração na explicação. O triângulo ABC é retângulo, e AB é a sua hipotenusa.

b) Área = 8 u. a.

Explicação passo a passo:

a) Para mostrarmos que um triângulo é retângulo, podemos mostrar simplesmente que nele vale o Teorema de Pitágoras, considerando o seu maior lado como hipotenusa. Então, vamos encontrar as medidas dos lados (AB, AC e BC).

A distância $d$ entre dois pontos $P(x_P,y_P)$ e $Q(x_Q,y_Q)$ é dada por:

$d =\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}$

Pela figura dada, os as coordenadas dos vértices do triângulo ABC são A(1, 3), B(7, 1) e C(3, 5). Logo, para os lados do triângulo:

$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\AB = \sqrt{(7-1)^2+(1-3)^2}\\\\AB = \sqrt{6^2+(-2)^2}\\\\AB = \sqrt{36+4}\\\\\boxed{AB=\sqrt{40}\;\text{u. c.}}$

$AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\\\AC = \sqrt{(3-1)^2+(5-3)^2}\\\\AC = \sqrt{2^2+2^2}\\\\AC = \sqrt{4+4}\\\\\boxed{AC=\sqrt{8}\;\text{u. c.}}$

$BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\\\BC = \sqrt{(3-7)^2+(5-1)^2}\\\\BC = \sqrt{(-4)^2+4^2}\\\\BC = \sqrt{16+16}\\\\\boxed{BC=\sqrt{32}\;\text{u. c.}}$

Podemos ver que o maior lado é AB. Logo, verificando se vale o Teorema de Pitágoras, devemos ter:

$AB^2=AC^2+BC^2$

Utilizando os valores que obtivemos:

$AB^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{32})²\\\\AB^2=8+32\\\\AB^2=40\Longrightarrow\boxed{AB=\sqrt{40}\;\text{u. c.}}~~\blacksquare$

Que é exatamente o resultado que tínhamos encontrado para AB anteriormente. Logo, vale o Teorema de Pitágoras. Portanto, o triângulo ABC é retângulo, sendo AB a sua hipotenusa.

b) Como os catetos (AC e BC) são perpendiculares entre si, pode-se tomar um deles como base e o outro como altura do triângulo. Assim, a área S pode ser encontrada da maneira a seguir:

$S = \dfrac{AC\times BC}{2}\\S = \dfrac{\sqrt{8}\times\sqrt{32}}{2} = \dfrac{\sqrt{8\times32}}{2}= \dfrac{\sqrt{256}}{2}=\dfrac{16}{2}\\\\\boxed{\boxed{S = 8\;\text{u. a.}}}$