Question

2 – Se n! = 30, então n é igual :
(n-2)!
a) -5 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

Answer 1

$\large{ \boxed{ \boxed{ \tt \: c) \: 6}}}$

Solução

$\tt \frac{n!}{(n - 2)!} = 30$

Lembre-se que:

$\boxed{\tt \: n! = n \cdot(n - 1)! \cdot(n - 2)! \cdot \: \dots \: \cdot2 \cdot1}$

Assim, temos que:

$\tt \to\frac{ n \cdot(n - 1) \cdot(n - 2)!}{(n - 2)!} = 30 \\ \\ \tt \frac{n \cdot(n - 1)\cdot \cancel{(n - 2)!}}{ \cancel{(n - 2)!}} = 30 \\ \\ \tt \:n \cdot( n - 1) = 30 \\ \\ \tt \: {n}^{2} - n = 30 \\ \\ \tt \: {n}^{2} - n - 30 = 0$

Podemos resolver essa equação pela fórmula resolutiva de equações do segundo grau.

$\tt Coeficientes \to\begin{cases} \tt \: a = 1 \\ \tt \: b = - 1 \\ \tt \: c = - 3 \end{cases}$

$\tt \: Discriminante \to \left | \begin{array}{ccc} \tt \Delta = {b}^{2} - 4ac \\ \tt \Delta = ( - 1 {)}^{2} - 4 \cdot1 \cdot( - 30) \\ \tt \Delta = 1 + 120 \\ \tt \Delta = 121 \end{array} \right.$

$\tt \: Raízes \to \left | \begin{array}{ccc} \tt \: x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} \\ \\ \tt \: x = \dfrac{ - ( - 1) \pm \sqrt{121} }{2 \cdot1} \\ \\ \tt \: x = \dfrac{1 \pm11}{2} \\ \\ \tt \: x_{1} = \dfrac{1 + 11}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \checkmark \\ \\ \tt \: x_{1} = \dfrac{1 - 11}{2} = \dfrac{ - 10}{2} = - 5\end{array} \right.$

Como devemos ter $\tt n \in \N$, assim, vamos tomar $\tt \: n = 6.$