Question

2) Quais os valores de x e y para que se verifique a igualdade:
(x + y) + (-2x + 3y)i = 2 + i​

Answer 1

Os valores de x e y são iguais a 1.

Explicação

Queremos saber o valor de x e o de y na seguinte igualdade:

$\mathsf{(x+y)+(-2x+3y)i=2+i.}$

De início, vamos relembrar quando dois números complexos são iguais.

Igualdade de números complexos

Sejam $\mathsf{z=a+bi}$ e $\mathsf{w=c+di}$ dois números complexos. Eles serão iguais se, e somente se, a = c e b = d.

Assim, temos:

$\mathsf{(x+y)+(-2x+3y)i=2+i}\implies\begin{cases}\sf x+y=2\\\\\sf-2x+3y=1\end{cases}$

Vamos resolver o sistema obtido pelo método da substituição.

$\begin{cases}\sf x+y=2&\sf(i)\\\\\sf-2x+3y=1&\sf(ii)\end{cases}$

Da equação (i), temos:

$\mathsf{x+y=2}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{x=2-y}}\quad\textsf{(iii)}$

Substituindo (iii) em (ii), segue que:

$\mathsf{-2(2-y)+3y=1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-4+2y+3y=1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-4+5y=1}\implies\\\\\\\implies\mathsf{5y=1+4}\implies\\\\\\\implies\mathsf{5y=5}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{y=1}}$

Agora, substitua, na equação (iii), o valor de y encontrado para obter o valor de x:

$\mathsf{x=2-y}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x=2-1}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{x=1}}$

Portanto, a solução do sistema é {(1, 1)}.

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