Question

2) considere um cubo de 4 cm de aresta. Dentro desse cubo há 8 esferas tangentes entre si e tangentes ao cubo. Se for colocada areia dentro desse cubo, de modo que ele fique completamente cheio, sem transbordar, qual será o volume de areia inserido dentro do cubo ? (utilize π = 3,14)​

Answer 1

Resposta:

Nós devemos preencher o cubo, que contém 8 esferas tangentes entre si e tangentes ao cubo, com 30,507 centímetros cúbicos de areia.

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, é necessário ordenar a distribuição das esferas dentro do cubo.

Como há 8 esferas tangentes entre si e tangentes ao cubo, as esferas estão igualmente distribuídas no cubo, ocupando o seu comprimento, a sua profundidade (ou largura) e a sua altura.

Por curiosidade, observemos que o número de esferas, 8, representa um cubo perfeito, pois 2³ = 8.

Assim, as esferas estão distribuídas em duas fileiras, com duas esferas por fileira.

Como a medida da aresta do cubo tem o valor de 4 centímetros, este valor corresponde a dois diâmetros de uma esfera. Como o diâmetro de uma esfera equivale a duas medidas de seus respectivos raios, a medida da aresta do cubo é equivalente a quatro medidas dos raios da esfera.

Ou seja:

$a = 4 \times r$

Onde:

• "a": medida da aresta do cubo.
• "r": medida do raio da esfera.

Vamos proceder ao cálculo do valor de medida do raio da esfera:

$4 = 4 \times r \\ \frac{4}{4} = r \\ 1 = r \\ r = 1$

Uma vez conhecido o valor do raio de uma esfera, podemos determinar o seu volume, através do emprego da seguinte expressão algébrica:

$V= \frac{4}{3} \pi {r}^{3}$

Também conhecida o valor da aresta de um cubo, podemos determinar o seu volume, através da seguinte relação:

$V= {a}^{3}$

Portanto, o volume de areia "x", que devemos colocar dentro do cubo, sem haver transbordamento, é a diferença entre o volume do cubo e os volumes das 8 esferas.

Vamos aos cálculos de cada um dos volumes:

• Volume do cubo de aresta "a" igual a 4 centímetros.

$V= {4}^{ 3} \\ V=64$

Assim, o cubo tem 64 centímetros cúbicos de volume.

• Volume de uma esfera de raio "r" igual a 1 centímetro.

$V= \frac{4}{3} \pi {1}^{3} \\ V= \frac{4}{3} \pi \\ V= \frac{4}{3} \times 3,14 \\V= 4,186...$

Assim, cada esfera tem o volume de 4,1866... centímetros.

• Volume de Areia.

$x = 64 -8.(4,186)\\x = 64 - 33,493\\x= 30,507$

Ao final, concluímos que devemos preencher o cubo, que contém 8 esferas tangentes entre si e tangentes ao cubo, com 30,507 centímetros cúbicos de areia.