Question

1a Questão - Na figura abaixo está representado o gráfico da função real
$f(x) = k \times a {}^{x}$
onde k e a são constantes positivas com a≠1

a)Determine a expressão de f(x)

b) Calcule o valor de f(6):

c)As coordenadas do ponto onde o gráfico corta o eixo y

d)Calcule o valor de f(m) x f(-m) onde m E IR
Gráfico fora de escala​

Answer 1

1) Na figura abaixo está representado o gráfico da função real $f(x) = k \times a {}^{x}$ onde k e a são constantes positivas com a≠1

• a)Determine a expressão de f(x):

Para descobrirmos a expressão que caracteriza f(x), devemos olhar as informações dada no gráfico. Pelo gráfico, vemos que quando x = 2, f(x) = 240 e quando x = 7, f(x) = 7,5. Substituindo essas informações na nossa função dada:

$240 = k \: \cdot \: a {}^{2} \: \: e \: \: 7,5 = k \: \cdot \: a {}^{7}$

Vamos isolar o "k" de uma delas e depois substituir na outra relação:

$240 = k \: \cdot \: a {}^{2} \: \to \: \: k = \frac{240}{a {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \\ \\ 7,5 = \frac{240}{a {}^{2} } \: \cdot \: a {}^{7} \: \to \: a {}^{5} = \frac{7,5}{240} \\ \\ a = \sqrt[5]{ \frac{7,5}{240} } \: \to \: \: a =0,5$

Esse é o valor da constante a), portanto vamos agora substituir ela em uma das relações e descobrir o valor da constante k:

$240 = k \: \cdot \: (0,5) {}^{2} \: \to \: k = \frac{240}{ (0,5) {}^{2} } \\ \boxed{k = 960}$

Logo podemos concluir que a função é:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{f(x) = 960 \: \cdot \: 0,5 {}^{x} }}}$

• b) Calcule o valor de f(6):

Para calcular f(6) basta substituir o x por 6, então:

$f(6) = 960 \: \cdot \: 0,5 {}^{6} \\ \boxed{f(6 )= 15 \: }$

• c)As coordenadas do ponto onde o gráfico corta o eixo y

Para a função tocar o eixo "y", quer dizer então que ela deve ter um x = 0, portanto vamos fazer a substituição do x por 0 e observar o resultado de f(x), que é justamente o "y":

$f(0) = 960 \: \cdot \: 0,5 {}^{0} \\ \boxed{f(0) = 960}$

Portanto temos que a coordenada é:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{P(0,960)}}}$

• d) Calcule o valor de f(m) x f(-m) onde m E IR

Nesse item devemos fazer basicamente a substituição de x por m e -m:

$f(m) = 960 \: \cdot \: 0 ,5 {}^{m} \: \: \: \: \: \: \\ f( - m) = 960 \: \cdot \: 0,5 {}^{ - m}$

Multiplicando as duas funções:

$f(m) \: \cdot \: f( - m) = 960 \: \cdot \: 0,5 {}^{m} \: \cdot \: 960 \: \cdot \: 0,5 {}^{ - m} \\ \\ f(m) \: \cdot \: f( - m)= 960 {}^{2} \: \cdot \: { \cancel{0,5 {}^{m}} }. \frac{1}{ \cancel{0,5 {}^{m} }} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ f(m) \: \cdot \: f( - m) = 921 \: 600}}}$

Espero ter ajudado