Question

O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica,
a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x
2 e C(x) =
10(x+40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de
produzir até 50 itens por dia. Determine:
- O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo,
é 10.
- Se a função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25].
- Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia?
- Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo?

Answer 1

As sentenças são: V - V - F - V.

- O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia para que a fábrica não tenha prejuízo é calculando igualando as funções receita e custo. Dessa maneira, obtemos o seguinte:

$R(x)=C(x) \\ \\ 60x-x^2=10x+400 \\ \\ x^2-50x+400=0 \\ \\ x_1=\frac{-(-50)+\sqrt{(-50)^2-4\times 1\times 400}}{2\times 1}=40 \\ \\ x_2=\frac{-(-50)-\sqrt{(-50)^2-4\times 1\times 400}}{2\times 1}=10$

Portanto, o número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10. Verdadeiro.

- A função lucro é a diferença entre a função receita e a função custo. Logo, a função lucro será:

$L(x)=R(x)-C(x) \\ \\ L(x)=60x-x^2-10x-400=-x^2+50x-400$

Uma vez que temos coeficiente angular negativa, a parábola possui concavidade voltada para baixo e, consequentemente, ponto de máximo. A função é crescente até esse ponto de máximo. Para determinar esse valor, vamos derivar a equação e igualar a zero.

$L'(x)=-2x+50=0 \\ \\ x=25$

Portanto, a função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. Verdadeiro.

- Conforme calculado anteriormente, a produção para que o lucro seja máximo é 25 unidades por dia. Falso.

- Para determinar se a fábrica terá prejuízo ao produzir 50 itens em um dia, vamos substituir esse valor na função lucro. Assim:

$L(50)=-50^2+50\times 50-400=-400$

Portanto, a fábrica terá prejuízo ao produzir 50 itens em um dia. Verdadeiro.