Question

18 ) Dê a derivada das funções, admitindo as condições de existência : 50 pontos ?
a) y = arc sen x + arc tg x + arc cos x
b) y= arc sen 2 x
c) y= ln(arc sen x)
d) y= (arc sen x^2)
e) y= (arc tg x) ^3

Answer 1

Olá

Para resolver essas derivadas precisamos da tabela de derivação.

A) 

$y=arcsen(x)+arctg(x)+arccos(x) \\ \\ y'= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }+ \frac{1}{1+x^2}- \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \\ \\ Simplifica~ os~ termos ~em ~comum \\ \\ y'= \boxed{\frac{1}{x^2+1} }$



B)

$y=arcsen(2x) \\ \\Deriva ~ Pela~ regra~ da~ cadeia \\ \\ y'= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }\cdot2 \\ \\ y'= \frac{2}{ \sqrt{1-(2x)^2} } \\ \\\boxed{ y'= \frac{2}{ \sqrt{1-4x^2}} }$




C)

$A~Derivada~da~composta~de~ln~e~dada~por ~ \frac{f'}{f} \\ \\ \\ y=ln(arcsen(x)) \\ \\ y'= \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } }{arcsen(x)} \\ \\ Multiplica~pelo~inverso \\ \\ y'= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{1}{arcsen(x)} \\ \\ \boxed{y'= \frac{1}{arcsen(x) (\sqrt{1-x^2} )} }$




D)

$y=arcsen(x^2) \\ \\ Regra~da~cadeia \\ \\ y'= \frac{1}{ \sqrt{1-(x^2)^2} }\cdot2x \\ \\\boxed{ y'= \frac{2x}{ \sqrt{1-x^4} } }$


E)

$y=(arctg(x))^3 \\ \\ Regra~da~cadeia \\ \\ y'=3(arctg(x))^2\cdot \frac{1}{1+x^2} \\ \\ \boxed{y'= \frac{3(arctg(x))^2}{1+x^2} }$




Qualquer dúvida, é só comentar.