Question

16) Resolva está seguinte questão de Funções Derivadas !


2)

i)$l(x)=sec^3 (\sqrt{2-x^2}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Apenas aplique a regra da cadeia.

$\frac{d(sec^{3}( \sqrt{2 - x^{2} } )) }{dx} = 3sec^{2} ( \sqrt{2 - x^{2} } )sec( \sqrt{2 - {x}^{2} } )tg( \sqrt{2 - {x}^{2} }) \frac{1}{2 \sqrt{2 - {x}^{2} } }( - 2x)$

Simplificando, chegamos a seguinte igualdade

$\frac{d(sec^3(\sqrt{2-x^2} ))}{dx} = \frac{-6x}{2\sqrt{2-x^2} } sec^3(\sqrt{2-x^2} )tg(\sqrt{2-x^2} )$

Answer 2

Resposta:

$\iff l'(x) = \red{ -\dfrac{3x * \sec^3 \left(\sqrt{2 - x^2} \right) * \tan \left( \sqrt{2 - x^2} \right) } {\sqrt{2 - x^2 }}}$

Explicação passo-a-passo:

@Tiago, para resolver essa questão, primeiramente você deve conhecer as derivadas das funções trigonométrica (no nosso caso trata-se de uma recíproca do cosseno, a função secante). Observe abaixo, considere uma função $y = \sec^n \big(k(x) \big)$, onde n é o expoente e k(x) o argumento, deste modo, a sua derivada será $\Rightarrow$

$y = \sec^n \big(k(x) \big)$

$\Longrightarrow y' = n \cdot k'(x) *\sec^{n -1}\big(k(x)\big) * [\green{\sec \big(k(x) \big)}]'$

$\\ \iff y' = n \cdot k'(x) *\sec^{n -1}\big(k(x)\big) * \green{\sec \big(k(x) \big) \cdot \tan \big(k(x) \big) }$

$\\ \iff y' = n \cdot k'(x) *\sec^{n}\big(k(x)\big) * \tan \big(k(x) \big)$

Portanto, podemos aplicar os procedimentos acima para a derivação trigonométrica proposta no enunciado, observe,

$l(x) = \sec^3 \left(\sqrt{2-x^2} \right)$

$\\ \Longrightarrow l'(x) = 3 \cdot \left(\sqrt{2 - x^2} \right)' * \sec^3\left( \sqrt{2 - x^2} \right) * \tan \left( \sqrt{2 - x^2} \right)$

Observe o radical, trata-se de uma função irracional (a expressão que se pretende derivar figura no radical), dada uma função k(x) num radical $\Big[\sqrt[n]{k(x)} \Big]' = \dfrac{k'(x)}{n \sqrt[n]{k(x)^{n -1} }}$, , a derivada será a expressão anterior, portanto teremos que,

$\iff l'(x) = \red{ 3 \dfrac{- \cancel{2}x}{\cancel{2} \cdot \sqrt{2 - x^2 }} * \sec^3 \left( \sqrt{2 - x^2} \right) * \tan \left( \sqrt{2 - x^2} \right) }$

$\iff l'(x) = \red{ \dfrac{-3x}{\sqrt{2 - x^2}} * \sec^3 \left( \sqrt{2 - x^2} \right) * \tan \left( \sqrt{2 - x^2} \right)}$

Espero ter colaborado!)