Question

(15 PONTOS) Mostre que a equação

$2\mathrm{\,sen\,}x+2\sqrt{3}\cos x=5$

não possui solução real.

Answer 1

Olá.

Primeiro divida todos os membros da equação por cosx.

$2tgx+2\sqrt { 3 } =5secx$

Agora eleve os dois lados da igualdade ao quadrado.

$(2tgx+2\sqrt { 3 } )^{ 2 }=(5secx)^{ 2 }$

Resolvendo:

$4tg^{ 2 }x+8\sqrt { 3 } tgx+12=25sec^{ 2 }x\\ \\ 4tg^{ 2 }x+8\sqrt { 3 } tgx+12=25(1+tg^{ 2 }x)\\ \\ 4tg^{ 2 }x+8\sqrt { 3 } tgx+12=25+25tg^{ 2 }x\\ \\ 21tg^{ 2 }x-8\sqrt { 3 } tgx+13=0$


O delta encontrado será negativo o que resulta em raízes imaginárias, a tangente no caso, seria:

$tgx=\frac { 8\sqrt { 3 } \pm 30i }{ 42 } \quad \therefore \quad \frac { 4\sqrt { 3 } \pm 15i }{ 21 }$

Answer 2

2sen(x) + 2√3cos(x) = 5

Primeiramente reescrevendo

2(sen(x) + √3cos(x)) = 5

Agora fatorando (fator 2)

2/2 * (sen(x)+√3cos(x)) = 5

Distribuindo

$2*2(\frac{sen(x)}{2} +\frac{\sqrt{3}cos(x) }{2})=5$

Escrevendo como um produto

$2*2(\frac{1}{2} *sen(x)+\frac{\sqrt{3} }{2}*cos(x))=5$

Usando a função trigonométrica

$2*2(cos(\frac{\pi }{3})sen(x)+sen(\frac{\pi }{3} )cos(x))=5$

Use $sen(t)cos(s)+cos(t)sen(t)=sen(t+s)$

$2*2sen(x+\frac{\pi }{3})=5$

Multiplicando

$4sen(x+\frac{\pi }{3} )=5$

Dividindo

$sen(x+\frac{\pi }{3})=\frac{5}{4}$

Dado sen(x + π/3) ∈ [-1,1], a equação não tem solução no intervalo dos Números Reais.

x ∉ R