Question

14) Resolva as equações.

a) cos² = 1.
b) 2 cos x - raiz quadrada de 13 = 0.
c) 2sen²x + 3senx – 2 = 0.

Answer 1

a) cos²x= 1

cosx=±√1

cosx=±1

cosx=1→x=0 ou x=2π

cosx=-1 →x=π

S={0,2π, π}

b) 2 cos x - √13 = 0

2cosx=√13

cosx=√13/2

x=arccos(√13/2)

2sen²x + 3senx – 2 = 0

∆=9+16=25

senx=(-3±5)/4

senx=(-3+5)/4

senx=2/4=½

senx(-3-5)/4=-8/4=-2

( não serve pois -1≤senx≤1)

Senx=½→ x=π/6 ou x=5π/6

S={π/6,5π/6}

Answer 2

Resposta:

ver resposta

Explicação passo-a-passo:

cos²x = 1.

cosx=±√1

cosx=±1

x=180º= - π

x=0º

$\mathsf{cos\,x=\pm\,\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{cos\,x=\pm\,1}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{cos\,x=1}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{cos\,x=-\,1}\\\\ \mathsf{x=0+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\pi+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{x=(2k)\cdot \pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(1+2k)\cdot \pi} \end{array}$

k∈Z

----

2 cos x - √3 = 0

----$\mathsf{2\,cos\,x=\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{\pi}{6}}$

$\mathsf{x=\pm\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\pm\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{x=(\pm\,1+12k)\,\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x=(12k+1)\,\dfrac{\pi}{6}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(12k-1)\,\dfrac{\pi}{6}} \end{array}$

c) 2 sen² x + 3 sen x − 2 = 0

fazendo:

$\mathsf{sen\,x=t,\qquad\quad com~-1\le t\le 1}$

$\mathsf{2t^2+3t-2=0}\\\mathsf{t=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-\,3\pm\sqrt{5^2}}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-\,3\pm 5}{4}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=\dfrac{-\,3+5}{4}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=\dfrac{-\,3-5}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2}{4}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=\dfrac{-\,8}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{1}{2}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=-\,2} \end{array}$

A raiz t = − 2 não serve, a imagem do senx está  − 1 ≤ t ≤ 1. Então, ficamos com:

$\mathsf{t=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=sen\,\dfrac{\pi}{6}}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\Big(\pi-\dfrac{\pi}{6}\Big)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{x=(1+12k)\,\dfrac{\pi}{6}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(5+12k)\,\dfrac{\pi}{6}} \end{array}$