Question

12) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits { \frac{(ln~x)^2}{x} } \, dx$

Answer 1

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Calcular a integral indefinida:

    $\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{(\ell n\,x)^2}{x}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\!(\ell n\,x)^2\cdot \frac{1}{x}\,dx}$

Método da substituição.  Façamos a seguinte mudança de variável:

     $\mathsf{\ell n\,x=u\quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{x}\,dx=du}$


e a integral fica

     $=\mathsf{\displaystyle\int\!u^2\,du}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{u^{2+1}}{2+1}+C}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{u^3}{3}+C}$

     $=\mathsf{\dfrac{(\ell n\,x)^3}{3}+C}$   <————   esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Estou usando integral por substituição simples.

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{{(ln \: x)}^{2}}{x}dx}$

$\mathsf{u=lnx~\to~du=\dfrac{dx}{x}}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{{(ln \: x)}^{2}}{x}dx}=</p><p>\displaystyle\mathsf{\int~{u}^{2}du}\\=\mathsf{\dfrac{1}{3}{u}^{3}+k}$

Portanto

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{{(ln \: x)}^{2}}{x}dx=\dfrac{1}{3}{(ln\,x) }^{3}+k}$