Question

11) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits { \frac{e^u}{(1-e^u)} } \, du$

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/10635976

——————————

Calcular a integral indefinida:

     $\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{e^u}{1-e^u}\,du}\\\\\\ =\mathsf{-\displaystyle\int\!\frac{1}{1-e^u}\cdot (-\,e^u)\,du}$


Método da substituição.  Façamos a seguinte mudança de variável:

     $\mathsf{1-e^u=w\quad \Rightarrow \quad-\,e^u\,du=dw}$


e a integral fica

     $=\mathsf{-\displaystyle\int\!\frac{1}{w}\,dw}\\\\\\ =\mathsf{-\,\ell n|w|+C}$

     $=\mathsf{-\,\ell n|1-e^u|+C}$   <————   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Integral por substituição simples.

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{{e}^{u}}{{(1-{e}^{u})}} } = \\ \displaystyle\mathsf{ - \int\dfrac{ - {e}^{u}}{{(1-{e}^{u})}}du}$

Fazendo

$t=1-{e}^{u}\to~dt=-{e}^{u}du$

temos

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{{e}^{u}}{{(1-{e}^{u})}}}=\\\displaystyle\mathsf{ - \int\dfrac{dt}{t} = - ln|t| + k}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{{e}^{u}}{{(1-{e}^{u})}} = - ln|1 - {e}^{u} |+ k}$