Matemática, perguntado por annabusatta2006, 6 meses atrás

10) Determine a "lei f(x) = ax + b, da função fem f(3)=5 e f(-1)=-7.
11) Determine a "lei" f(x) = ax + b, da função fem f(4)=0 e f(0) = 3

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Resolvendo as questões, temos que a lei f(x) = ax + b da função na questão:

10) é igual a f(x) = 3x - 4;
11) é igual a f(x) = – 3/4 x + 3

Agora acompanhe abaixo a resolução.

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Questão 10)

Desejamos determinar a lei de formação de uma função afim f(x) = ax + b, sabendo que nela, 5 é a imagem de 3, e – 7 é a imagem de – 1, isto é, sabendo que f(3) = 5 e que f(– 1) = – 7. Com base nessas informações, podemos fazer substituições na lei f(x) = ax + b com a finalidade de encontrar duas equações:

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Se f(3) = 5, então x = 3 e f(x) = 5:

⇒ f(x) = ax + b

⇒ 5 = a ⋅ 3 + b

⇒ 3a + b = 5 ( ɪ )

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Se f(– 1) = – 7, então x = – 1 e f(x) = – 7

⇒ f(x) = ax + b

⇒ – 7 = a ⋅ (– 1) + b

⇒ a – b = 7 ( ɪɪ )

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Assim podemos montar um sistema de equações:

$\Large\quad\boldsymbol{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf3a+b=5~~\mathnormal{(\,I\,)}\\\\\sf a-b=7~~\,\mathnormal{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}}\\\\$

Veja que podemos usar o método da adição. Este método consiste em somar as equações membro a membro a fim de eliminar uma incógnita para descobrir outra. Isso só é possível se as incógnitas a serem eliminadas tiverem os coeficientes opostos, como é o caso aqui já que o coeficiente ‘‘b’’ numa equação é oposto do coeficiente ‘‘b’’ da outra equação, então:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\ ~~+~\!\begin{cases}\sf3a+b=5\\\\\sf a-b=7\end{cases}\\ \:\textsf{\: -----------------------------}\\\sf\iff~~4a+0=12\\\\\sf\iff~~4a=12\\\\\sf\iff~~a=\dfrac{12}{4}\\\\\iff~~\boldsymbol{\boxed{\sf a=3}}\end{array}\\\\$

Agora nós podemos substituir o valor de ‘‘a’’ em qualquer uma da equações iniciais, vou fazer na equação ( ɪɪ ):

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf a-b=7\\\\\sf\iff~~~a-b=7\\\\\sf\iff~~~b=-\,7+3\\\\\iff~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf b=-\,4}}\end{array}\\\\$

Veja que agora temos os valores definidos de ‘‘a’’ e de ‘‘b’’, então podemos encontrar a lei de formação dessa função:

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf f(x)=ax+b\\\\\sf\iff~~~f(x)=3\cdot x+(-\,4)\\\\\iff~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf f(x)=3x-4}}\end{array}\\\\$

R: Portanto, a lei f(x) = ax + b da função em que f(3) = 5 e que f(– 1) = – 7 é igual a f(x) = 3x – 4.

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Questão 11)

A ideia dessa é a mesma da anterior, só que agora temos que nessa função, 0 é a imagem de 4, e 3 é imagem de 0, ou seja, f(4) = 0 e f(0) = 3. Com base nisso, vamos fazer as substituições na lei f(x) = ax + b com a finalidade de encontrar duas equações:

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Se f(4) = 0, então x = 4 e f(x) = 0:

⇒ f(x) = ax + b

⇒ 0 = a ⋅ 4 + b

⇒ 4a + b = 0 ( ɪ )

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Se f(0) = 3, então x = 0 e f(x) = 3

⇒ f(x) = ax + b

⇒ 3 = a ⋅ 0 + b

⇒ b = 3 ( ɪɪ )

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Perceba que, só de ter feito as substituições já encontramos o valor de ‘‘b’’ na equação ( ɪɪ ), então agora só falta encontrar o valor de ‘‘a’’, e pra isso basta que substituamos seu valor na equação ( ɪ ):

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf 4a+b=0\\\\\sf\iff~~~4a+3=0\\\\\sf\iff~~~4a=-\,3\\\\\iff~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf a=-\,\dfrac{3}{4}}}\end{array}\\\\$

E assim, com os valores definidos de ‘‘a’’ e de ‘‘b’’ podemos encontrar a lei de formação dessa função:

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf f(x)=ax+b\\\\\sf\iff~~~f(x)=-\dfrac{3}{4}\cdot x+3\\\\\iff~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf f(x)=-\dfrac{3}{4}\:\!x+3}}\end{array}\\\\$

R: Portanto, a lei f(x) = ax + b da função em que f(4) = 0 e que f(0) = 3 é igual a f(x) = – 3/4 x + 3.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$