Question

1. Uma bola é lançada a partir do solo e sua altura h, em metros, é dada em função do tempo tem
segundos, pela função h(x)=-3t² / 4 +12t

Determine:

a) O tempo necessário para que a bola atinja a altura máxima.
b) A altura máxima atingida pela bola.
c) O instante em que a bola retorna ao solo.​

Answer 1

Observação inicial:   Há um pequeno erro no enunciado. É dado uma função h(x), no entanto o certo seria h(t), já que a variável utilizada é "t".

Podemos ver que que a função h(t) dada é do 2° grau, pois o maior expoente de "t" é 2.

Sendo assim, essa função será representada graficamente por uma parábola de concavidade voltada para baixo (coeficiente "a" negativo).

O tempo "t" em que a bola atinge sua altura máxima será dado pela coordenada "x" do vértice da parábola e a altura máxima será dada pela coordenada "y" do vértice.

a)

$^{~Tempo~da}_{Altura~Max}~=~Vertice_{\,x}\\\\\\^{~Tempo~da}_{Altura~Max}~=~-\frac{b}{2a}\\\\\\^{~Tempo~da}_{Altura~Max}~=~-\frac{12}{2~.\,-\frac{3}{4}}\\\\\\^{~Tempo~da}_{Altura~Max}~=~-\frac{12}{-\frac{3}{2}}\\\\\\^{~Tempo~da}_{Altura~Max}~=~12~.~\frac{2}{3}\\\\\\\boxed{^{~Tempo~da}_{Altura~Max}~=~8~segundos}$

b)

$Altura~Max.~=~Vertice_{\,y}\\\\\\Altura~Max.~=~-\frac{\Delta}{4a}\\\\\\Altura~Max.~=~-\frac{b^2-4ac}{4~.\,-\frac{3}{4}}\\\\\\Altura~Max.~=~-\frac{12^2-4.\left(-\frac{3}{4}\right).0}{4~.\,-\frac{3}{4}}\\\\\\Altura~Max.~=~-\frac{144\,+\,0}{-3}\\\\\\\boxed{Altura~Max.~=~48~metros}$

c)

Os dois momentos onde a bola está no solo são dados pelas raízes (ou zeros) da função.

Vamos então calcular estas raízes:

$-\frac{3}{4}t^2+12t~=~0\\\\\\t.\left(-\frac{3}{4}t~+~12\right)~=~0\\\\\\\\\boxed{t'~=~0~segundos}\\\\\\-\frac{3}{4}t~+~12~=~0\\\\-\frac{3}{4}t~=\,-12\\\\t~=~12~.~\frac{4}{3}\\\\\boxed{t''~=~16~segundos}$

Sabemos que no instante 0 segundos a bola ainda não foi lançada, portanto no instante 16 segundos a bola toca novamente o solo.