Question

1)
Um fabricante quer produzir latas de extrato de tomate no formato cilíndrico que tenham volume igual a V = 327 cm³ = 327 ml. Desprezando a espessura das lâminas metálicas usadas para a fabricação da lata e admitindo que o custo de fabricação é proporcional à área da superfície da lata (área lateral mais as áreas das tampas de cima e de debaixo), determine (caso existam) as dimensões (raio da base e altura) da lata cilíndrica que tenha volume V = 327 cm³ = 327 ml e que minimize o custo. Assinale a alternativa que contenha o raio da base e altura, respectivamente.

Alternativas:
a)
Aproximadamente 3,7 cm e 7,6 cm.
b)
Aproximadamente 3,5 cm e 8,6 cm.
c)
Aproximadamente 4,7 cm e 4,7 cm.
d)
Aproximadamente 5,7 cm e 3,2 cm.
e)
Aproximadamente 6,7 cm e 2,31 cm.

Answer 1

Resposta:

4)  Um fabricante quer produzir latas de extrato de tomate no formato cilíndrico que tenham V= 327 cm3 = 327 ml. Desprezando a espessura das lâminas metálicas usadas para a fabricação da lata e admitindo que o custo de fabricação é proporcional à área da superfície da lata (área lateral mais as áreas das tampas de cima e de baixo), determine as dimensões (raio e altura) da lata cilíndrica que tenha esse volume e minimize o custo.                                                                                           Resp.   r = 3,73 cm  e h =  7,48 cm  

Explicação passo-a-passo:

a)

Aproximadamente 3,7 cm e 7,6 cm

Answer 2

Baseado nas informações do enunciado, afirmamos que a alternativa que contenha o raio da base e altura é a letra A) Aproximadamente 3,7 cm e 7,6 cm.

Vamos aos dados/resoluções:

É de conhecimento público que o volume da lata V = 327 cm^3 é dado pela seguinte expressão:

r^2. pi. h = 327 (I)

Onde r é o raio da base ou da tampa, e h sua altura, ambas em cm.

A área superficial AS da lata em específico é dada por:

AS= área base + área tampa + área lateral

AS= r^2. pi + r^2. pi + 2.pi.r.h

AS= 2.pi.r^2 + 2.pi.r.h (II)

De (I), h= 327/(r^2. pi). Substituindo em (II), temos:

AS= 2.pi.r^2 + 2.pi.r.327/(r^2. pi)

AS= 2.pi.r^2 + 654/r

AS= 2.pi.r^2 + 654. r^(-1)

Para o custo ser mínimo, então AS deve ser mínimo, ou seja:

AS' = 0

4.pi.r - 654.r^(-2) = 0

4.pi.r = 654.r^(-2)

4.pi.r = 654/ r^2

4.pi.r^3 = 654

r= ∛654/(4.pi))

r ≅ 3,73356 cm

Logo:

h= 327/(r^2. pi)

h ≅ 7,46711 cm

De fato:

3,73356^2. pi. 7,46711 ≅ 327 cm^3

Assim, para r ≅ 3,73 cm, e h ≅ 7,46 cm, a lata terá o menor custo.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)