Question

1) (ufsm 2015) para avaliar as vendas em 2013, o setor de planejamento de uma empresa utilizou a função polinomial 3 2 n(t) t 21t 126t 304     em que n representa o número de tablets vendidos no mês t, com t 1  correspondendo a janeiro, t 2  correspondendo a fevereiro e assim por diante. de acordo com os dados, o número de tablets vendidos foi igual a 480, nos meses de a) fevereiro, julho e novembro. b) fevereiro, agosto e novembro. c) fevereiro, agosto e dezembro. d) março, agosto e dezembro. e) março, setembro e dezembro.

Answer 1

Olá.

Temos a função:

$\mathsf{n(t)=t^3-21t^2+126t+304}$

No caso, desejamos saber quando esse polinômio de 3° grau será igual a 480. Primeiro, vamos igualar a 480 para depois igualar a 0.

$\mathsf{t^3-21t^2+126t+304=480}\\\\\mathsf{t^3-21t^2+126t+304-480=0}\\\\\mathsf{t^3-21t^2+126t-176=0}$

Para resolver, buscando as raízes inteiras desse polinômio, podemos fatorar o 176 e testar se seus divisores positivos satisfazem a primeira equiparação com 480 (tem de ser positivo pois os números dos meses são positivos). Teremos:

$\begin{array}{r|l}176&2\\88&2\\44&2\\22&2\\11&11\\1\end{array}$

As raízes positivas possíveis são:

$\mathsf{\{x\in\mathbb{N}~|~(1,2,4,8,11)\}}$

Vamos ao teste de cada uma.

Para x = 1:

$\mathsf{F(x)=t^3-21t^2+126t+304=480}\\\\\mathsf{F(1)=1^3-21(1)^2+126(1)+304=480}\\\\\mathsf{F(1)=1-21+126+304=480}\\\\\mathsf{F(1)=410=480~X}$

Para x = 2:

$\mathsf{F(x)=t^3-21t^2+126t+304=480}\\\\\mathsf{F(2)=2^3-21(2)^2+126(2)+304=480}\\\\\mathsf{F(2)=8-21(4)+252+304=480}\\\\\mathsf{F(2)=8-84+252+304=480}\\\\\boxed{\mathsf{F(2)=480=480~\checkmark}}$

Para x = 4:

$\mathsf{F(x)=t^3-21t^2+126t+304=480}\\\\\mathsf{F(4)=4^3-21(4)^2+126(4)+304=480}\\\\\mathsf{F(4)=64-21(16)+504+304=480}\\\\\mathsf{F(4)=64-336+504+304=480}\\\\\mathsf{F(4)=536=480~X}$

Para x = 8:

$\mathsf{F(x)=t^3-21t^2+126t+304=480}\\\\\mathsf{F(8)=8^3-21(8)^2+126(8)+304=480}\\\\\mathsf{F(8)=512-21(64)+1.008+304=480}\\\\\mathsf{F(8)=512-1.344+1.008+304=480}\\\\\boxed{\mathsf{F(8)=480=480~\checkmark}}$

Para x = 11:

$\mathsf{F(x)=t^3-21t^2+126t+304=480}\\\\\mathsf{F(11)=11^3-21(11)^2+126(11)+304=480}\\\\\mathsf{F(11)=1.331-21(121)+1.386+304=480}\\\\\mathsf{F(11)=1.331-2.541+1.386+304=480}\\\\\boxed{\mathsf{F(11)=480=480~\checkmark}}$

Temos que as raízes desse polinômio são:

$\boxed{\mathsf{S=\{x\in\mathbb{N}~|~2,8,11\}}}$

As raízes equivalem aos meses:

2: fevereiro;
8: agosto;
11: novembro.

Com isso, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa B.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.