1) determine a equação da circunferencia d centro C e raio r,nos seguintes casos:
a) C=(0;0)e r=2
b) C=(-1;3)e r=3
c) C=(1 ,5) e r =4
2) são dados os pontos A(1,2)e B(3,8).se a circunferencia de diametro AB tem equação :x²+y²+ax+by+c=0,qual o valor de C?
Soluções para a tarefa
x² + y² = 4
b) (x+1)(x-3) = 9
x² -2x - 3 = 9
c) (x-1)(x-5)=16
x² -6x +5 = 16
2) d² = (x2-x1)² + (y2 - y1)²
d² = (3-1)²+(8-2)²
d² = 4+36
d = √40
d = 2√10
A distância entre dois pontos é o diâmetro dessa circunferência, então o raio é √10.
O ponto médio dessa reta é o centro da circunferência. Então centro = (1+3; 2+8)
2 2
C = (2 ; 5)
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x²+y²+ax+by+c = 0
(x - 2)²+(y - 5)² = √10²
x² -4x + 4 + y² -10y + 25 = 10
x² + y² -4x -10y +19 = 0
Logo, c= 19
As equações das circunferências são: a) x² + y² = 4; b) x² + 2x + y² - 6y - 1 = 0; c) x² - 2x + y² - 10y + 10 = 0; O valor de c é 19.
Questão 1) A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro da circunferência e r a medida do raio.
a) Se o centro é o ponto C = (0,0), então temos que x₀ = 0 e y₀ = 0. Como a medida do raio é igual a 2, podemos concluir que a equação da circunferência é:
(x - 0)² + (y - 0)² = 2²
x² + y² = 4.
b) Se o centro é o ponto C = (-1,3), então x₀ = -1 e y₀ = 3. Como a medida do raio é igual a 3, podemos concluir que a equação da circunferência é:
(x - (-1))² + (y - 3)² = 3²
(x + 1)² + (y - 3)² = 9
x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 9
x² + 2x + y² - 6y - 1 = 0.
c) Se o centro é o ponto C = (1,5), então x₀ = 1 e y₀ = 5. Como a medida do raio é igual a 4, podemos concluir que a equação da circunferência é:
(x - 1)² + (y - 5)² = 4²
x² - 2x + 1 + y² - 10y + 25 = 16
x² - 2x + y² - 10y + 10 = 0.
Questão 2) Sabemos que a medida do diâmetro é igual ao dobro da medida do raio.
Vamos calcular a medida do diâmetro da circunferência. Para isso, utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos.
Se os extremos do diâmetro são os pontos A = (1,2) e B = (3,8), então a distância entre eles é igual a:
d² = (3 - 1)² + (8 - 2)²
d² = 2² + 6²
d² = 4 + 36
d² = 40
d = 2√10.
Logo, a medida do raio é igual a r = √10.
O ponto médio do segmento AB é o centro da circunferência. Então:
2C = A + B
2C = (1,2) + (3,8)
2C = (1 + 3, 2 + 8)
2C = (4,10)
C = (2,5).
Portanto, a equação da circunferência é:
(x - 2)² + (y - 5)² = (√10)²
x² - 4x + 4 + y² - 10y + 25 = 10
x² + y² - 4x - 10y + 19 = 0.
Assim, o valor de c é 19.
Exercícios sobre circunferência:
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