Question

1) A equação da parábola de V(-2, 1) e reta diretriz definida pela equação y = 3 é: 
2) A equação da reta diretriz da parábola abaixo, é: 
(y-1)² = -4 (x-3)​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=-\dfrac{1}{8}\cdot(x+2)^2+1}}}~~e~~\boxed{\bold{\displaystyle{x=4}}}$  

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Na 1ª questão, devemos encontrar a equação da parábola com vértice em $(-2, 1)$ e reta diretriz $y=3$.

A parábola é uma cônica e é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz.

Como a reta diretriz é da forma $y = y_v \pm \dfrac{p}{2}$, sabe-se que o foco está na posição $\left(x_v,~y_v\mp\dfrac{p}{2}\right)$.

Assim, como a reta diretriz está acima do eixo das abcissas, sabemos que a parábola tem concavidade para baixo, logo a fórmula que usaremos é  

$-\dfrac{1}{2p}\cdot(x-x_v)^2=y-y_v$, na qual p é o parâmetro, dado pela distância entre a reta diretriz e o foco.

Usando as informações que temos, podemos descobrir $p$. Iguale a equação da reta diretriz nessas condições à forma geral

$y_v + \dfrac{p}{2} = 3\\\\\\1+\dfrac{p}{2}=3\\\\\\\dfrac{p}{2}=2\\\\\\ p=4$

Podemos substituir as informações na fórmula

$-\dfrac{1}{2\cdot4}\cdot(x-(-2))^2=y-1$

Isole $y$

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=-\dfrac{1}{8}\cdot(x+2)^2+1}}}$

Na 2ª questão, desejamos encontrar a reta diretriz dada a equação da parábola. Como podemos ver, esta é uma parábola com concavidade voltada para esquerda , pois $a< 0$, logo $a = -\dfrac{1}{2p}$ e tem forma $a(y-y_v)^2=(x-x_v)$.

Assim, podemos encontrar a posição do vértice comparando as fórmulas

$(y-1)^2=-4\cdot(x-3)\\\\\\ (y-y_v)^2=-{2p}(x-x_v)$

Descobrimos que  $y_v = 1$  e  ${2p}=4$, logo $p=2$.

Usando a fórmula da reta diretriz para parábolas com concavidade virada para a esquerda, $x=x_v+\dfrac{p}{2}$, temos que:

$x=3+\dfrac{2}{2}\\\\\\ x= 3+1}\\\\\\ x=4$

Portanto, em respostas as duas questões, encontramos a equação da parábola que satisfaz as posições do vértice e reta diretriz e a reta diretriz da outra parábola.

Answer 2

Resposta:

1- ( D ) - ( X + 2 )^2 = -8 ( Y - 1 )

Para essa questão temos que observar a reta diretriz, as coordenadas do vértice e o foco da parábola.

2- ( A ) - X = 4

Pela equação dada temos:

V (3,1)

4c = -4

c = -1

x = xv - c

x = 3 - (-1)

x = 3 + 1

x = 4