Question

05. Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme figura. Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é PO = 10 cm, que a distância de P a M é = 14 cm e que o ângulo PÔM mede 120o, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é (A) (B) 9. (C) 8. (D) 6. (E) 5.

Answer 1

Podemos responder utilizando a Lei dos Senos.

Esta lei diz que, em qualquer triângulo, o comprimento de um lado dividido pelo seno do ângulo oposto a este lado é igual a um outro lado dividido pelo seno do ângulo oposto a este outro lado. Matematicamente, no triângulo PMO:
$\dfrac{10}{sen(PMO)} = \dfrac{14}{sen(120)} = \dfrac{OM}{sen(OPM)}$

Igualando as duas primeiras, encontramos o seno de PMO:
$\dfrac{10}{sen(PMO)} = \dfrac{14}{sen(120)} \\ \\ sen(PMO) = \dfrac{10*sen(120)}{14} \\ \\ sen(PMO) = \dfrac{5 \sqrt{3} }{14}$

O ângulo PMO vale 38,2º. Sendo assim OPM vale 180 - 120 - 38,2 = 21,8º.

Utilizando a Lei dos Senos:
$\dfrac{14}{sen(120)} = \dfrac{OM}{sen(21,8)} \\ \\ OM = 6cm$

Resposta: Letra D