Question

°) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2√29 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, é:

Answer 1

O volume do paralelepípedo é 192 cm³.

Divisão proporcional

Na divisão diretamente proporcional, temos:

a/x = b/y = c/z = (a + b + c)/(x + y + z)

A diagonal do paralelepípedo pode ser calculada através de:

d² = a² + b² + c²

Portanto, teremos que:

(2√29)² = a² + b² + c²

a² + b² + c² = 116

Se as dimensões são proporcionais a 2, 3 e 4, podemos escrever:

a/2 = b/3 = c/4 = (a + b + c)/(2 + 3 + 4) = (a + b + c)/9

Seja a razão de proporção dada por k = (a + b + c)/9, reescrevemos:

a/2 = k ⇒ a = 2k

b/3 = k ⇒ b = 3k

c/4 = k ⇒ c = 4k

Substituindo na equação da diagonal:

(2k)² + (3k)² + (4k)² = 116

4k² + 9k² + 16k² = 116

k² = 116/29

k = √4

k = 2

Logo, teremos as dimensões dadas por:

a = 4 cm

b = 6 cm

c = 8 cm

O volume do paralelepípedo é:

V = 4·6·8

V = 192 cm³

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