Question

Zeros da função quadrática.

1- Escreva a função quadrática de f(x), de acordo com as informações dadas:

A) zeros de f(x): x = 5 (duplo); f(x) passa por (2, -9).

Answer 1

Função quadrática: y = ax² + bx + c
Se o zero da função é duplo, significa que o delta é zero.

Logo:
5 = - b/2a
b = - 10a

Passa pelo ponto (2, -9):
-9 = 2².a + (-10a).2 + c
- 9 = 4a - 20a + c
- 9 = c - 16a
c = 16a - 9

A fórmula do delta é:
Δ = b² - 4ac
Sendo delta = 0 fica:
0 = (-10a)² - 4.a.(16a - 9)
0 = 100a² - 64a² + 36a
36a² + 36a = 0

Colocando a em evidência:
a(36a + 36) = 0
Temos a = 0 ou 36a + 36 = 0
a não pode ser zero, pois não seria uma função quadrática. Logo:
36a + 36 = 0
36a = - 36
a = - 36/36
a = - 1

Logo: 
b = -10a → b = -10.(-1)   →  b = 10

c = 16a - 9 → c = 16(-1) - 9 → c = - 16 - 9 → c = - 25

A função quadrática é:
f(x) = -x² + 10x - 25