Question

Z = k – x2 – y2
Seja também o cilindro C ao longo do eixo z, centrado na origem e de raio r = k/2.
Agora, considere a região S, no primeiro octante, limitada superiormente pelo paraboloide P e no interior do cilindro C.
Com base nas informações apresentadas, responda:
a) Determine o volume da região S descrita anteriormente, por meio do cálculo de integrais triplas, explicando, com detalhes, as informações e cálculos necessários para a resolução desse problema.
b) Se a densidade da região for descrita por uma constante C, qual será a massa de S? Como podemos relacionar o cálculo da massa com os procedimentos empregados no item A para investigação do volume de S? Justifique sua resposta.

Answer 1

Resolvendo a integral do volume para coordenadas cilindricas temos que:

a) $V=\frac{k^3\pi}{16}(1-\frac{k}{8})$.

b) $M=\frac{Ck^3\pi}{16}(1-\frac{k}{8})$.

Explicação:

Antes de começarmos esta questão vamos diretamente passa-la para coordenadas cilindricas, pois caso contrário ela ficará muito maior do que precisa ser.

Sendo assim, o cilindro C simpelsmente se torna uma integral de 0 ao seu raio que é k/2.

E a parabolaloide P se torn:

$z=k-r^2$

Pois em coordenadas cilindricas:

$x=r.cos(\theta)$

$y=r.sen(\theta)$

Assim montando a nossa integral de volume, temos que:

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{k/2}\int_{0}^{k-r^2}r.dz.dr.d\theta$

Agora vamos explicar a composição desta integral:

Primeiramente a integral de dentro é em z, que o limite é dado pelo plano z=0 e superiormente é militado pelo paraboloide P, por isso o limite superior é k-r².

Segundo a integral do meio é em r, que vai de 0 a k/2, pois o raio maximo é o raio do cilindro que é k/2.

E finalmente o angulo vai de 0 a 90º, pois só queremos o primeiro octante do gráfico.

OPS: E dentro da integral tem um r multiplicando, pois é o Jacobiano de coordenadas cilindricas.

Agora podemos fazer este calculo:

a) Determine o volume da região S descrita anteriormente, por meio do cálculo de integrais triplas, explicando, com detalhes, as informações e cálculos necessários para a resolução desse problema.

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{k/2}\int_{0}^{k-r^2}r.dz.dt.d\theta$

Resolvendo esta integral:

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{k/2}\int_{0}^{k-r^2}r.dz.dt.d\theta$

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{k/2}(k-r^2)r.dr.d\theta$

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{k/2}(kr-r^3).dr.d\theta$

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{k}{2}r^2-\frac{1}{4}r^4)_{0}^{k/2}.d\theta$

$V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{k^3}{8}-\frac{k^4}{64})d\theta$

$V=\frac{\pi}{2}\frac{k^3}{8}(1-\frac{k}{8})$

E este é o volume desta região:

$V=\frac{k^3\pi}{16}(1-\frac{k}{8})$

b) Se a densidade da região for descrita por uma constante C, qual será a massa de S? Como podemos relacionar o cálculo da massa com os procedimentos empregados no item A para investigação do volume de S? Justifique sua resposta.

Se a densidade é constante, basta multiplicar a densidade pelo volume que teremos a massa, pois esta é a definição de densidade.

$M=C.V$

$M=C.\frac{k^3\pi}{16}(1-\frac{k}{8})$

$M=\frac{Ck^3\pi}{16}(1-\frac{k}{8})$