Question

Y= x³-4x²-4x+16 / x²-6x+8 em que x≠2 e x≠4,obtém-se:
A) x.
B) x-2.
C) x+2.
D) x+4.

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Numerador:

Vamos começar fatorando o numerador através da fatoração em agrupamento.

No numerador temos que:

$\boxed{x {}^{3} - 4x {}^{2} - 4x + 16}$

Note que temos alguns elementos em comum.

$x {}^{2} .x - 4x {}^{2} - 4x - 4.4$

Vamos colocar o termo x² em evidência e o número 4, já que ambos se repetem.

$x {}^{2}.x - 4x {}^{2} - 4x - 4.4 \\ x {}^{2} .(x - 4) - 4.(x - 4)$

Obtemos mais um termo que podemos colocar em comum que é (x - 4), ao colocar esse valor em evidência os valores que sobrarem (x² e -4) irão para dentro de um parêntese que ficarão multiplicados ao termo em evidência.

$(x {}^{2} - 4).(x - 4)$

O termo (x² - 4) nos lembra um produto notável chamado de produto da soma pela diferença que possui a seguinte estrutura:

$\boxed{(a {}^{2} - b {}^{2}) = (a + b).(a - b) }$

Colocando ele em sua forma fatorada obtemos:

$(x {}^{2} - 4).(x - 4) \\ (x {}^{2} - 2 {}^{2} ).(x - 4) \\ \boxed{(x - 2).(x + 2).(x - 4)}$

Essa é a forma fatorada do numerador.

Denominador:

No denominador temos que:

$( {x}^{2} - 6x + 8)$

Utilizando o produto de Stevin .

$\boxed{x {}^{2} + (a + b).x + a.b = (x + a).(x + b)}$

Para descobrir os valores de "a" e "b" devemos pensar em dois números que somados resultem em -6 e dois números multiplicados resultem em 8.

Esses números são (-2 e -4), pois:

-2 - 4 = -6

-2 . -4 = 8

Então os valor de a = -2 e o valor de b = -4, substituindo no produto de Stevin em sua forma fatorada, obtemos:

$(x + a).(x + b) \\ (x + ( - 2)).(x + ( - 4)) \\ \boxed{ (x - 2).(x -4)}$

Essa é a forma fatorada do denominador.

Tendo fatorado tudo, vamos substituir na expressão inicial.

$\boxed{ \frac{x {}^{3} - 4x {}^{2} - 4x + 16}{x {}^{2} - 6x + 8} } \\ \\ \frac{(x - 4).(x + 2).(x - 2)}{(x - 4).(x - 2)}$

Corte os termos semelhantes, ou seja, (x-4) do numerador e denominador e (x - 2) do numerador e denominador.

$\frac{( \cancel{x - 4}).( \cancel{x - 2}).(x + 2)}{( \cancel{x - 4}).( \cancel{x - 2})}$

Restando apenas:

$\boxed{(x + 2)} \leftarrow resposta$

Letra c)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️