Question

Y=2 Cos²x.Sen 2x
Determina a derivacao y

Answer 1

Resposta:

y' = 4cos⁴x -2sen²(2x) - 4cos²x sen²x

Explicação passo-a-passo:

y' = (2 × cos²x × sen2x)'

A constante sai derivação:

y' = 2 × (cos²x × sen2x)'

Para facilitar, vamos escrever assim:

y' = 2 × (cosx × cosx × sen2x)'

Temos que utilizar a regra do produto. Vamos chamar:

u = cosx

v = cosx

w = sen2x

Temos, pela regra, que:

y = u × v × w

y' = u' v w + u v' w + u v w'

Aplicando:

y' = 2 [(cosx)' × cosx × sen2x + cosx × (cosx)' × sen2x + cosx × cosx × (sen2x)']

Vamos calcular as derivadas separadamente:

• (cosx)' = - senx

No segundo caso, precisaremos usar a regra da cadeia:

(sen2x)' =

A gente deriva o que tá a função normalmente e multiplica pela derivada do que tá dentro. Em outras palavras:

w = sen2x

w' = cos2x × (2x)'

w' = cos2x × 2

w' = 2cos2x

Substituindo:

y' = 2 [ (-senx) × cosx × sen2x + cosx × (-senx) × sen2x + cosx × cosx × 2cos(2x)]

y' = 2 × [ 2 × (-senx) × cosx × sen2x + 2cos²x × cos(2x)]

y' = - 2 × 2 × senx × cosx × sen2x + 4 × cos²x × cos(2x)

como: cos2x = cos²x - sen²x

y' = - 2 × 2 × senx × cosx × sen2x + 4cos²x × (cos²x - sen²x)

Uma relação trigonométrica importante é:

sen2x = 2 × senx × cosx

Vamos substituir o 2senxcosx por sen2x.

Então:

y' = - 2sen2x × sen2x + 4cos⁴x - 4cos²x sen²x

y' = - 2sen²2x + 4cos⁴x - 4cos²x sen²x

y' = 4cos⁴x - 2sen²2x - 4cos²x sen²x

outra forma de fazer:

y = 2 × cos²x × sen2x

y' = 2 × (cos²x × sen2x)'

Vamos usar a regra do produto, mas agora para duas funções:

u = cos²x

v = sen2x

Pela regra, temos:

y' = uv' + vu'

y' = 2 [(cos²x) × (sen2x)' + (sen2x) × (cos²x)']

Vamos fazer as derivadas separadas e depois substituir:

(sen2x)'= 2 × cos2x (como já vimos anteriormente)

(cos²x)' = - sen2x

tá na dúvida? vou te provar!

u = cos²x

u = cosx × cosx

Usando regra do produto:

u' = cosx × (cosx)' + (cosx) × (cosx)'

u' = cosx × -senx + cosx - senx

u'= -2 × senx × cosx

note que 2 senx cosx = sen2x (relação trigonométrica)

Então, podemos escrever:

u' = - sen(2x)

Substituindo:

y' = 2 [cos²x × 2 × cos2x + sen2x × -sen2x]

y' = 2 [2 × cos²x × cos2x -sen²(2x)]

Lembre que:

cos2x = cos²x - sen²x

y' = 2 [2 × cos²x × (cos²x - sen²x) -sen²(2x)]

y' = 2 [2 cos⁴x - 2cos²x sen²x -sen²(2x)]

y' = 4cos⁴x - 4cos²x sen²x - 2sen²(2x)

Arrumando só pra deixar igual ao outro:

y' = 4cos⁴x - 2sen²(2x) - 4cos²x sen²x